답변 내역

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.부정방정식은 미지수는 여러 개인데 식의 개수가 부족해서 답이 하나로 안 정해지는 방정식이에요. 그래서 그냥 풀면 답이 무수히 많아지는데, 문제에서 정수다 실수다 하는 조건을 붙여줘서 답을 콕 집어낼 수 있게 만드는 거예요. 어떤 조건이 붙느냐에 따라 접근법이 완전히 달라지니까 유형별로 짚어드릴게요.먼저 정수 조건일 때예요. 미지수가 정수라는 조건이 붙으면 핵심 전략은 식을 곱셈 꼴로 만드는 거예요. 좌변을 두 괄호의 곱으로 인수분해하고 우변을 정수로 정리해서, A 곱하기 B가 어떤 정수가 되도록 바꾸는 거죠. 예를 들어 xy 빼기 x 빼기 y 같은 식이 나오면 (x 빼기 1)(y 빼기 1) 꼴로 묶어내는 식이에요. 이렇게 두 정수의 곱이 특정 숫자가 되면, 그 숫자를 만드는 정수 짝은 몇 가지로 한정되거든요. 곱해서 6이 되는 정수 짝은 1과 6, 2와 3, 그리고 음수 조합까지 몇 개뿐이잖아요. 이 경우들을 하나씩 따져서 미지수를 구하는 거예요. 정수 조건의 부정방정식은 거의 다 이 인수분해 후 약수 따지기로 풀린다고 보시면 돼요.다음은 실수 조건일 때예요. 미지수가 실수라는 조건이 붙으면 무기가 두 가지예요. 하나는 완전제곱식을 이용하는 거예요. 실수를 제곱하면 절대 음수가 안 된다는 성질이 핵심이거든요. 식을 정리해서 (어떤 식)의 제곱 더하기 (다른 식)의 제곱 형태가 0이 되도록 만들면, 0 이상인 두 값을 더해서 0이 되는 경우는 둘 다 동시에 0일 때뿐이에요. 그래서 각 괄호 안을 0으로 놓고 풀면 답이 나와요. 예를 들어 a제곱 더하기 b제곱이 0이면 a도 0이고 b도 0인 거죠. 다른 하나는 판별식을 이용하는 거예요. 한 미지수에 대한 이차방정식으로 정리한 뒤, 그 미지수가 실수로 존재하려면 판별식이 0 이상이어야 한다는 조건을 거는 방식이에요. 이 두 가지 중 식의 모양을 보고 제곱 합으로 묶이면 완전제곱식, 이차식으로 정리되면 판별식을 떠올리시면 돼요.이외의 조건이 붙는 경우도 있어요. 자연수 조건이 붙으면 정수 풀이와 비슷하게 가되 음수와 0을 빼고 양의 정수만 따지면 돼요. 양수 조건이면 범위를 제한하는 식으로 접근하고요. 또 절댓값이 들어간 부정방정식은 절댓값 안이 0 이상인 성질을 활용해 완전제곱식 전략과 비슷하게 풀어요. 핵심은 어떤 조건이든 그 조건이 가진 고유한 성질, 그러니까 정수는 약수가 유한하다, 실수의 제곱은 음수가 안 된다 같은 성질을 무기로 삼아 무수히 많던 답을 유한하게 좁혀낸다는 거예요.정리하면 이렇게 기억하시면 편해요. 정수 조건이면 인수분해해서 약수를 따지고, 실수 조건이면 완전제곱식으로 묶거나 판별식을 쓰고, 그 외 조건이면 그 조건만의 성질로 범위를 좁힌다는 거예요. 결국 부정방정식은 주어진 조건이 곧 풀이의 열쇠라, 어떤 조건이 붙었는지를 가장 먼저 확인하는 게 첫걸음이랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.정확하게 짚으셨어요. 빛 자체는 열이 아닌데 햇빛을 받으면 따뜻해지는 게 모순처럼 느껴지는 게 당연해요. 핵심은 빛이 열을 전달하는 게 아니라 빛이 물질에 흡수되면서 열로 바뀐다는 데 있어요.빛은 에너지를 실어 나르는 존재예요. 열에너지라는 형태로 오는 게 아니라 전자기파라는 형태로 에너지를 담아 우주를 가로질러 오는 거예요. 태양에서 출발한 햇빛은 진공인 우주 공간을 지나오는데, 진공에는 데울 물질이 없으니까 그 구간에서는 열이라는 게 존재하지도 않아요. 빛은 그냥 에너지를 품은 채 날아오기만 하는 거예요.그런데 이 빛이 우리 몸이나 어떤 물체에 닿으면 상황이 달라져요. 물질을 이루는 분자와 원자가 빛을 흡수하거든요. 빛 알갱이인 광자가 가진 에너지를 분자가 받아들이면, 그 에너지로 분자가 더 활발하게 진동하고 움직이기 시작해요. 그런데 온도라는 게 바로 이 분자들이 얼마나 활발하게 움직이느냐를 나타내는 거예요. 분자들이 더 빠르게 떨릴수록 그 물질은 뜨거워진 거고요. 그러니까 빛 에너지가 분자의 운동에너지로 바뀌는 순간, 그게 우리가 느끼는 열이 되는 거예요.비유하자면 빛은 돈을 송금하는 것과 비슷해요. 돈이 계좌 사이를 오갈 때는 그냥 숫자 정보로 이동하지만, 그 돈을 받아서 물건을 사면 실제 물건으로 바뀌잖아요. 빛도 마찬가지로 이동할 때는 전자기파라는 형태이지만, 물질이 그걸 흡수하는 순간 열이라는 실체로 전환되는 거예요. 빛이 열을 가지고 온 게 아니라, 받는 쪽에서 빛을 열로 바꾼 거죠.그래서 같은 햇빛을 받아도 검은 옷이 흰 옷보다 더 뜨거워지는 거예요. 검은색은 빛을 거의 다 흡수해서 많은 에너지를 열로 바꾸는 반면, 흰색은 빛을 대부분 반사해버려서 흡수하는 에너지가 적거든요. 흡수해야 열로 바뀌니까, 반사해버리면 따뜻해질 일이 없는 거예요. 거울이 햇빛을 받아도 잘 안 뜨거워지는 것도 같은 이유랍니다.정리하면 빛은 열이 아니라 에너지의 운반체이고, 그 에너지가 물질에 흡수되어 분자를 진동시킬 때 비로소 열로 모습을 바꾸는 거예요. 빛과 열은 분명히 다르지만, 빛이 열의 원천이 될 수는 있는 거랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.큰 틀에서 패러데이 법칙으로 접근하신 방향은 맞아요. 다만 자속이 작아진다와 자속의 변화량이 작아진다 사이를 연결하는 논리가 하나 빠져 있어서, 그 부분을 채우면 훨씬 정확한 설명이 돼요.먼저 옛날 방식 하드디스크의 읽기 원리부터 짚을게요. 디스크 표면에는 자성 입자들이 작은 영역 단위로 N극과 S극 방향이 정해져 기록돼 있어요. 이걸 읽을 때 예전에는 유도 코일 방식을 썼는데, 헤드가 디스크 위를 지나가면서 자기 방향이 바뀌는 경계를 만나면 코일을 통과하는 자속이 변하고, 그 변화가 패러데이 법칙에 따라 유도기전력을 만들어내요. 여기까지는 정확히 이해하신 그대로예요.이제 핵심인 자속 변화량 부분이에요. 질문에서 자속이 작아진다는 정보만 찾으셨다고 했는데, 사실 읽기 신호를 결정하는 건 자속 자체가 아니라 자속의 변화량이 맞아요. 그런데 기록을 촘촘히 하면 이 변화량도 같이 줄어들어요. 왜냐하면 비트 하나의 크기가 작아진다는 건 그 안에 든 자성 입자 수가 줄고 자화된 영역의 면적이 작아진다는 뜻이거든요. 자속은 자기장 세기 곱하기 면적인데, 면적이 작아지니 한 비트가 만드는 자속의 총량 자체가 작아져요. 그러면 헤드가 N극 영역에서 S극 영역으로 넘어갈 때 생기는 자속의 차이, 즉 델타 파이도 함께 작아지는 거예요. 작은 자석이 만드는 자기장 변화가 큰 자석보다 약한 것과 같은 이치예요. 그래서 자속이 작아진다는 말 안에 자속 변화량도 작아진다는 의미가 자연스럽게 포함돼 있는 거랍니다.다만 V=IR로 유도전류까지 연결하신 부분은 조금 보완이 필요해요. 읽기에서 실제로 문제가 되는 건 유도전류의 크기라기보다 유도기전력, 즉 신호 전압이 잡음에 묻힐 만큼 약해진다는 점이에요. 신호가 작아지면 주변의 열적 잡음이나 전기적 잡음과 구별하기 어려워져서 0과 1을 제대로 읽지 못하게 되거든요. 그래서 한계의 본질은 전류 부족이라기보다 신호 대 잡음비가 나빠진다는 데 있어요.여기에 더해 또 하나의 근본적인 벽이 있어요. 비트를 너무 작게 만들면 자성 입자가 외부 열에너지만으로도 자기 방향이 제멋대로 뒤집히는 초상자성 한계라는 현상이 생겨요. 기록한 정보가 저절로 사라지는 거라, 이게 사실 자속 신호 문제보다 더 치명적인 한계로 꼽혀요.그래서 정리하면 이래요. 촘촘히 기록할수록 비트 면적이 줄어 자속과 그 변화량이 함께 작아지고, 그 결과 유도되는 신호 전압이 약해져 잡음에 묻힌다는 흐름으로 설명하시면 패러데이 법칙 부분이 정확해져요. 다만 실제 산업에서 말하는 한계는 신호 세기 문제와 초상자성 문제가 겹친 거라, 두 가지를 함께 언급하시면 더 완성도 높은 설명이 된답니다.참고로 요즘 하드디스크는 유도 코일 대신 자기저항 방식의 읽기 헤드를 써요. 자속 변화에 따라 전기저항이 바뀌는 성질을 이용하는 건데, 약한 자속에서도 신호를 훨씬 민감하게 잡아낼 수 있어서 패러데이 방식의 한계를 어느 정도 넘어선 거랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.발상이 정말 날카로워요. 그리고 결론부터 말하면 그 생각이 정확히 맞아요. 빛의 속도가 충분히 느리다면, 사과를 바라본 순간 잠깐은 아무것도 없는 것처럼 보이다가 시간이 좀 지나야 사과가 나타날 거예요.우리가 무언가를 본다는 건 사실 그 물체에서 출발한 빛이 우리 눈에 도달하는 거예요. 사과가 보이는 건 사과가 빛을 반사하고, 그 반사된 빛이 눈에 들어와 망막을 자극하기 때문이거든요. 그러니까 빛이 눈에 닿기 전까지는 우리 눈에 아무 정보도 도착하지 않은 상태라, 그 순간만큼은 정말로 그 자리가 비어 보이는 게 맞아요.다만 현실에서는 빛이 1초에 지구를 일곱 바퀴 반이나 도는 어마어마한 속도라, 바로 앞 사과에서 반사된 빛이 눈에 닿는 시간이 1억분의 1초도 안 돼요. 그래서 우리는 그 지연을 전혀 느끼지 못하고 사과가 늘 거기 있는 것처럼 보는 거예요.그런데 이 지연이 실제로 관측되는 영역이 있어요. 바로 우주예요. 별빛은 워낙 먼 거리를 오기 때문에 빛의 속도로도 수년에서 수백만 년이 걸리거든요. 그래서 우리가 지금 보는 별은 사실 과거의 모습이에요. 어떤 별이 10년 전에 사라졌더라도 그 별빛이 아직 도착하는 중이라면 우리는 여전히 그 별을 보고 있는 거예요. 질문하신 가정이 우주 규모에서는 진짜로 일어나는 일인 셈이랍니다.빛의 속도가 느린 세상을 상상해보면 정말 기묘할 거예요. 누가 손을 흔들면 그 동작이 한참 뒤에 보이고, 멀리 있는 사람일수록 더 과거의 모습으로 보일 테니까요. 우리가 보는 모든 게 사실은 아주 조금씩 과거라는 사실이, 빛이 워낙 빨라서 가려져 있을 뿐이랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.먼저 확률부터 바로잡으면, 가위바위보는 50퍼센트가 아니라 셋 중 하나라 이론적으로는 이길 확률이 약 33퍼센트예요. 비기는 경우까지 빼면 순수하게 이기거나 질 확률이 반반이고요. 그런데 자꾸 지는 느낌이 든다면, 사실 가위바위보가 완전한 운이 아니라는 데 답이 있어요.핵심은 사람이 진짜 무작위로 내지 못한다는 거예요. 인간의 뇌는 무작위를 흉내 내는 데 서툴러서 자기도 모르게 패턴을 만들거든요. 이걸 이용한 심리 전략이 실제로 통계적으로 검증돼 있어요.가장 유명한 건 진 사람과 이긴 사람의 다음 수 경향이에요. 방금 진 사람은 무의식적으로 자기를 이겼던 상대의 손 모양으로 바꾸는 경향이 있고, 방금 이긴 사람은 같은 걸 또 내는 경향이 있어요. 그래서 상대가 직전에 무엇으로 이겼는지 졌는지를 보면 다음 수를 어느 정도 예측할 수 있어요. 예를 들어 상대가 바위로 나를 이겼다면, 다음 판에서 상대는 그 바위를 또 낼 가능성이 높으니 나는 보를 준비하는 식이에요.처음 낼 때의 경향도 있어요. 통계적으로 남성은 첫 수로 바위를 내는 비율이 가장 높아요. 주먹을 쥐는 게 본능적으로 편하고 강해 보인다고 느끼기 때문이라고 해요. 그래서 상대가 어떤 사람인지 모를 때 첫판에는 보를 내면 약간 유리할 수 있어요.또 하나는 같은 걸 연속으로 잘 안 낸다는 점이에요. 사람은 바위를 두 번 냈으면 세 번째는 왠지 다른 걸 내야 할 것 같은 압박을 느껴요. 그래서 상대가 같은 수를 두 번 냈다면 다음엔 바꿀 확률이 높다고 보고 읽어낼 수 있어요.말로 흔드는 방법도 의외로 효과가 있어요. 가위바위보 직전에 나 이번에 바위 낸다 하고 말해버리면 상대는 그걸 진짜 믿을지 역으로 생각할지 헷갈려 하거든요. 이렇게 상대를 생각하게 만들면 패턴이 더 흐트러져서 읽기 쉬워져요.다만 솔직하게 말씀드리면 이런 전략들은 확률을 조금 높여줄 뿐 필승법은 아니에요. 상대가 정말 아무 생각 없이 내거나 일부러 무작위를 의식하면 통하지 않거든요. 그래도 자꾸 진다고 느끼셨다면 본인의 패턴이 읽히고 있을 가능성이 있으니, 스스로 의식적으로 불규칙하게 내는 것만으로도 승률이 올라갈 거예요. :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.덧셈은 같은 자리끼리 그냥 더하면 되는데 곱셈만 유독 한쪽 행과 다른쪽 열을 짝지어 더하는 복잡한 방식이라 어색하게 느껴지는 게 당연해요. 핵심은 행렬 곱셈이 숫자를 곱하려고 만든 게 아니라 함수를 이어 붙이려고 만든 거라는 데 있어요.행렬이 사실은 무언가를 변환하는 도구라는 점부터 봐야 해요. 행렬 하나는 점이나 화살표를 다른 위치로 옮기는 규칙이에요. 예를 들어 어떤 행렬은 도형을 회전시키고, 어떤 행렬은 크기를 늘리거나 줄여요. 행렬에 좌표를 넣으면 새로운 좌표가 나오는데, 이게 함수가 입력을 받아 출력을 내놓는 것과 똑같은 구조예요. 그러니까 행렬은 표가 아니라 변환 기계라고 생각하시는 게 본질에 가까워요.그러면 행렬 곱셈은 뭐냐, 두 변환을 연달아 적용하는 거예요. 행렬 B로 한 번 변환하고 그 결과에 다시 행렬 A로 변환한다고 해볼게요. 이 두 단계를 한 번에 처리하는 하나의 행렬을 만드는 게 바로 A 곱하기 B예요. 함수를 합성하는 것과 똑같아요. f를 적용하고 g를 적용하는 걸 하나로 묶는 거죠.여기서 왜 행과 열을 짝지어 곱하고 더하는지가 자연스럽게 나와요. 첫 번째 변환을 거친 결과가 두 번째 변환의 입력으로 들어가야 하는데, 그러려면 첫 변환의 출력 성분 하나하나가 두 번째 변환의 각 규칙에 골고루 영향을 줘야 하거든요. 그 영향을 빠짐없이 합산하는 과정이 바로 한 행의 값들과 한 열의 값들을 각각 곱해서 더하는 그 동작이에요. 표를 기울인 것처럼 보이는 게 사실은 출력과 입력을 정확히 연결하느라 그렇게 된 거예요.순서를 바꾸면 결과가 달라지는 것도 이걸로 설명돼요. 옷을 입고 코트를 걸치는 것과 코트를 걸치고 옷을 입는 게 다르듯, 회전을 먼저 하고 늘이는 것과 늘이고 회전하는 건 결과가 달라요. 변환의 순서가 중요하니까 행렬 곱셈도 순서를 바꾸면 답이 달라지는 거예요. 덧셈은 순서를 바꿔도 같은데 곱셈은 안 그런 이유가 여기 있어요.정리하면 덧셈은 두 변환을 단순히 포개는 거라 같은 자리끼리 더하면 되지만, 곱셈은 두 변환을 시간 순서대로 이어 붙이는 거라 출력과 입력을 맞물리게 하는 특별한 계산이 필요한 거예요. 표로만 보면 규칙이 억지스러워 보이지만, 변환을 연결한다는 관점에서 보면 그렇게 될 수밖에 없는 가장 자연스러운 방식이랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.먼저 한 가지 바로잡아 드릴게요. 쿼크가 전자까지 구성한다고 알고 계셨는데, 전자는 쿼크로 이루어져 있지 않아요. 쿼크로 만들어진 건 양성자와 중성자이고, 전자는 그 자체로 더 쪼갤 수 없는 가장 기본적인 입자거든요. 이 차이부터 짚고 들어가면 이해가 한결 쉬워져요.물질을 계속 쪼개보면 원자가 나오고, 원자를 쪼개면 가운데 원자핵과 그 주위를 도는 전자로 나뉘어요. 여기서 원자핵은 양성자와 중성자로 또 나뉘는데, 이 양성자와 중성자를 한 번 더 쪼개면 그때 나오는 게 쿼크예요. 그런데 전자는 아무리 쪼개려 해도 더 작은 알맹이로 나뉘지 않아요. 그래서 전자와 쿼크는 둘 다 자연에서 더 이상 쪼갤 수 없는 기본 입자라는 같은 급에 속해요. 전자가 쿼크로 만들어진 게 아니라, 전자와 쿼크가 나란히 물질의 가장 밑바닥 재료인 거예요.쿼크는 종류가 여섯 가지예요. 위, 아래, 맵시, 기묘, 꼭대기, 바닥이라는 다소 엉뚱한 이름이 붙어 있어요. 이 중에서 평범한 물질을 이루는 건 위 쿼크와 아래 쿼크 두 가지뿐이에요. 양성자는 위 쿼크 두 개와 아래 쿼크 한 개가 묶인 거고, 중성자는 위 쿼크 한 개와 아래 쿼크 두 개가 묶인 거예요. 똑같은 재료를 몇 개씩 넣느냐에 따라 양성자가 되기도 하고 중성자가 되기도 하는 거죠. 나머지 네 종류의 쿼크는 훨씬 무겁고 불안정해서 입자 가속기 같은 특수한 환경에서만 잠깐 나타났다 사라져요.반물질은 보통 물질의 거울상 같은 존재예요. 모든 입자에는 질량은 똑같지만 전하가 정반대인 짝이 있는데, 이 짝을 반입자라 하고 반입자로 이루어진 게 반물질이에요. 전자는 마이너스 전하를 띠는데 그 짝인 양전자는 질량이 같으면서 플러스 전하를 띠어요. 쿼크에도 각각 반쿼크가 있고요.반물질의 가장 극적인 성질은 보통 물질과 만나면 둘 다 순식간에 사라지면서 엄청난 에너지를 내뿜는다는 거예요. 이걸 쌍소멸이라고 해요. 이때 물질이 가진 질량이 100퍼센트 에너지로 바뀌는데, 핵폭탄도 질량의 극히 일부만 에너지로 바꾸는 걸 생각하면 반물질의 에너지 효율이 얼마나 어마어마한지 짐작이 가실 거예요. 영화에서 반물질을 궁극의 에너지원이나 폭탄으로 묘사하는 게 이 때문이에요.다만 현실에서 반물질은 만들기가 극도로 어렵고 양도 미미해요. 거대한 입자 가속기에서 아주 미세한 양만 잠깐 만들어낼 수 있고, 보관도 까다로워요. 보통 물질에 닿는 순간 소멸해버리니까 자기장으로 공중에 띄워 가둬야 하거든요. 그래서 영화 속 반물질 폭탄 같은 건 원리상으로는 가능해도 현실에서는 사실상 불가능한 이야기랍니다. 현재 반물질은 무기보다는 우주의 근본 원리를 연구하거나 의료 영상 장비에 활용하는 쪽으로 쓰이고 있어요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.80년대에 일본, 독일, 스위스 세 나라가 광학 렌즈를 주도했다는 건 당시 기준으로 정확한 이야기예요. 정밀 광학은 워낙 진입 장벽이 높아서 소수 선진국이 독점하다시피 했거든요. 그런데 지금은 상황이 꽤 많이 달라졌어요.현재는 광학 렌즈를 만드는 나라가 훨씬 늘었어요. 다만 분야를 나눠서 봐야 정확해요. 안경 렌즈와 카메라 렌즈, 그리고 최고급 정밀 광학은 각각 기술 수준과 주도국이 다르거든요.안경 렌즈는 이제 여러 나라에서 만들어요. 전통 강자는 여전히 독일과 일본이에요. 독일의 자이스와 로덴스톡, 일본의 호야와 니콘이 고급 안경 렌즈 시장을 주도하고 있어요. 여기에 프랑스의 에실로가 세계 최대 안경 렌즈 기업으로 올라섰고, 이탈리아 기업과 합병해 거대 그룹을 이뤘어요. 중국도 중저가 안경 렌즈를 엄청난 물량으로 생산하면서 시장에 들어왔고요. 우리나라도 안경 렌즈는 자체 생산해요. 케미렌즈 같은 국내 기업들이 중급 시장에서 경쟁력을 갖추고 있어서, 일상적으로 쓰는 안경 렌즈 수준에서는 국산 기술이 충분히 자리를 잡았어요.카메라 렌즈는 일본의 강세가 압도적이에요. 캐논, 니콘, 소니, 후지필름, 시그마, 탐론 같은 기업들이 전 세계 카메라 렌즈 시장을 사실상 지배하고 있어요. 독일의 자이스와 라이카는 최고급 프리미엄 렌즈에서 명성을 유지하고 있고요. 스마트폰 카메라 렌즈로 넘어가면 또 다른 그림인데, 대만과 중국 기업들이 초소형 렌즈 분야에서 크게 성장했어요.가장 까다로운 영역은 반도체를 만드는 노광장비용 초정밀 렌즈예요. 이건 차원이 다른 기술인데, 독일 자이스가 거의 독점하고 있어요. 반도체 노광장비 1위인 네덜란드 ASML에 자이스가 렌즈를 공급하는 구조예요. 이 최고 수준의 정밀 광학은 아직도 극소수만 만들 수 있어서 80년대의 독점 구도가 여기서는 여전히 살아 있는 셈이에요.우리나라 기술을 정리하면, 안경 렌즈처럼 일상용 광학은 자체 생산 능력을 갖췄고, 스마트폰 카메라 모듈 쪽은 삼성전기 같은 기업이 세계적인 경쟁력을 가지고 있어요. 다만 고급 카메라 교환 렌즈나 반도체용 초정밀 광학에서는 일본과 독일에 아직 격차가 있는 게 현실이에요. 광학은 수십 년간 쌓인 유리 가공 기술과 설계 노하우가 핵심이라 단기간에 따라잡기 어려운 분야거든요. 그래도 디스플레이와 반도체 산업에서 쌓은 정밀 가공 역량이 있어서 광학 소재 쪽으로 꾸준히 영역을 넓혀가고 있답니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.두 추측 다 흥미로운데 난이도와 성격이 정반대예요. 하나는 초등학생도 문제를 이해할 수 있는데 아무도 못 풀었고, 다른 하나는 문제를 이해하는 것 자체가 대학원 수준이거든요. 콜라츠부터 풀어볼게요.콜라츠 추측은 규칙이 황당할 만큼 단순해요. 아무 자연수나 하나 고른 다음, 짝수면 2로 나누고 홀수면 3을 곱한 뒤 1을 더해요. 나온 결과에 같은 규칙을 계속 반복하는 거예요. 예를 들어 6으로 시작하면 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1로 가고, 7로 시작해도 한참 오르락내리락하다가 결국 1에 도착해요. 콜라츠 추측은 어떤 수로 시작하든 결국 반드시 1에 도달한다는 주장이에요.이게 왜 어렵냐면, 컴퓨터로 어마어마하게 큰 수까지 다 확인해봤는데 전부 1로 끝났거든요. 그런데도 모든 자연수에 대해 그렇다는 걸 증명한 사람이 아무도 없어요. 홀수일 때는 수가 커지고 짝수일 때는 작아지는데, 이 오르내림이 워낙 불규칙해서 언제 1에 닿을지 예측할 방법이 없는 거예요. 수학자 에르되시는 이 문제를 두고 현대 수학은 아직 이런 문제를 풀 준비가 안 됐다고 말하기도 했어요. 문제는 초등학생도 이해하는데 푸는 도구가 없다는 점에서 리만 가설과 비슷한 처지예요.호지 추측은 정반대로 문제 자체가 굉장히 추상적이에요. 콜라츠처럼 쉽게 풀어 설명하기가 어려운데, 핵심 아이디어만 비유로 짚어볼게요. 수학에는 복잡한 도형이나 공간을 연구하는 분야가 있어요. 그런데 곡선이나 곡면처럼 휘어진 복잡한 대상을 직접 다루기는 너무 어려우니까, 수학자들은 이걸 더 단순한 조각들로 쪼개서 분석해요. 레고 블록으로 복잡한 모양을 표현하듯이, 복잡한 기하학적 공간을 다루기 쉬운 기본 조각들의 조합으로 나타내는 거예요.호지 추측은 이런 질문이에요. 어떤 복잡한 공간을 분석할 때 대수적인 방법으로 찾아낸 특징들이 있는데, 이것들이 항상 실제 기하학적인 조각, 그러니까 눈에 보이는 도형 조각으로 표현될 수 있느냐는 거예요. 대수라는 계산의 언어로 발견한 성질과 기하라는 도형의 세계가 정확히 맞아떨어지느냐를 묻는 거죠. 계산으로는 존재한다고 나오는데 그게 실제 도형으로 그려지는지가 확인이 안 된 거예요.이게 중요한 이유는 대수와 기하라는 수학의 두 큰 기둥을 잇는 다리이기 때문이에요. 호지 추측이 참이라면 계산의 세계와 도형의 세계가 깊은 곳에서 하나로 연결된다는 게 증명되는 거예요. 그래서 밀레니엄 7대 난제에 당당히 이름을 올린 거랍니다. 다만 콜라츠와 달리 호지 추측은 문제를 정확히 이해하려면 대수기하학이라는 상당히 깊은 분야를 공부해야 해서, 일반인에게는 문제의 뜻조차 와닿기 어려운 게 특징이에요.두 추측을 나란히 놓으면 수학의 두 얼굴이 보여요. 콜라츠는 누구나 이해하지만 아무도 못 푸는 단순함의 함정이고, 호지는 이해하는 것부터가 벽인 추상의 깊이예요. 쉬워 보인다고 쉬운 게 아니고 어려워 보인다고 무의미한 게 아니라는 걸 보여주는 한 쌍이랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.정확하게 짚으셨어요.! 그 물체를 처음 움직이게 하는 데는 분명히 일을 해요. 핵심은 등속으로 움직이는 구간과 처음 출발시키는 구간을 나눠서 봐야 한다는 거예요.먼저 이미 등속으로 움직이고 있는 동안을 볼게요. 마찰이 0인 평면에서 물체가 일정한 속도로 움직이고 있다면, 이때는 힘을 줄 필요가 없어요. 관성의 법칙 때문에 한번 움직이기 시작한 물체는 마찰이 없으면 힘을 안 줘도 영원히 같은 속도로 계속 가거든요. 그러니까 등속 구간에서는 애초에 힘을 가하지 않고, 힘이 0이면 일도 0이에요. 일이라는 건 힘 곱하기 이동 거리인데 힘이 0이면 아무리 멀리 가도 일은 0인 거예요.그런데 질문하신 처음에 움직이게 하는 부분이 바로 빠진 조각이에요. 정지해 있던 물체를 어떤 속도까지 끌어올리려면 반드시 힘을 줘서 가속해야 하고, 이 가속하는 동안에는 일을 해요. 멈춰 있던 걸 속도가 생기게 만드는 거니까 그 속도, 즉 운동에너지를 만들어준 만큼 일을 한 거예요. 이때 한 일은 물체가 갖게 된 운동에너지와 정확히 같아요. 질량 곱하기 속도 제곱의 절반만큼이 들어간 거죠.그러니까 정리하면 이래요. 정지 상태에서 어떤 속도까지 올리는 처음 가속 구간에서는 일을 했고, 그 일이 고스란히 운동에너지로 저장돼요. 그 후 원하는 속도에 도달해서 등속으로 가는 구간에서는 힘도 일도 0이에요. 저장된 운동에너지가 마찰 없이 그대로 유지되니까 더 보탤 필요가 없는 거예요.질문이 정확했던 게, 등속 운동에 한 일은 0이라는 말만 들으면 마치 출발할 때도 일을 안 한 것처럼 오해하기 쉽거든요. 하지만 0이 되는 건 어디까지나 이미 등속으로 굴러가는 동안의 이야기이고, 그 등속 상태를 만들기까지는 반드시 일이 필요했다는 걸 구분하신 거예요. 등속이라는 결과 뒤에는 처음에 누군가 해준 일이 숨어 있는 셈이랍니다 :)