왜 공집합은 모든집합의 부분집합 인가요?
공집합은 원소가 하나도 없는건데 왜 모든집합의 부분집합이 될수 있는걸까요? 수학의 정석을 읽다가 나온 내용인데 요즘 크로나 때문에 학원도 안가서 선생님께 물어볼수도 없고 그래서요 ㅠㅠ 누군가 증명 해주셨으면 감사하겠습니다.
공집합은 원소의 개수가 0인 집합을 말합니다.
부분집합은 한 집합의 원소들로만 구성할 수 있는 집합을 말하는데
어떤 원소도 포함되지 않는 경우도 부분집합으로 생각하기 때문에
공집합은 모든 집합의 부분집합이 됩니다.
ex) = {1, 2, 3, 4}의 부분집합 - ∅(공집합), {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} => 총 16개
증명을 원하신다면...
귀류법을 사용해 증명하겠습니다.
'공집합은 모든 집합의 부분집합이다'를 부정하면 '공집합을 부분집합으로 갖지 않는 집합이 존재한다'가 됩니다.
이 명제에 따라, 그 집합을 A라고 하면, 공집합⊆A는 거짓이므로 'x∈공집합 ⇒ x∈A'에 대한 반례, 즉 이를 거짓으로 만드는 x가 존재하게 됩니다.
그런데 공집합의 정의에 따르면 어떤 x에 대해서도 'x∈공집합'는 거짓이므로 'x∈공집합 ⇒ x∈A'는 참이며, 주장되는 x는 존재하지 않고, 부정은 거짓임이 증명됩니다.
부정이 거짓이 됨을 증명했으므로 '공집합은 모든 집합의 부분집합이다'라는 명제는 참이 됩니다.
좋은하루 보내시고 채택부탁드립니다~^^
모든 집합들의 부분집합은 아무 원소도 갖지 않는 공집합도 있을 수 있고, 모든 원소를 가진 집합 자체도 있을 수 있습니다. 부분집합은 한 집합이 가진 원소들만 가지고 있으면 되는데, 아무런 원소도 가지지 않은 공집합은 아무런 원소도 없기 때문에 모든 집합의 부분집합이 될 수 있습니다. 도움이되셨길 바랍니다
모든 집합들의 부분집합은 아무 원소도 갖지 않는 공집합도 있을 수 있고,
모든 원소를 가진 집합 자체도 있을 수 있습니다.
부분집합은 한 집합이 가진 원소들만 가지고 있으면 되는데, 아무런 원소도 가지지 않은 공집합은 아무런 원소도 없기
때문에 모든 집합의 부분집합이 될 수 있습니다.
도움되셨길 바랍니다.
