공집합은 원소의 개수가 0인 집합을 말합니다.
부분집합은 한 집합의 원소들로만 구성할 수 있는 집합을 말하는데
어떤 원소도 포함되지 않는 경우도 부분집합으로 생각하기 때문에
공집합은 모든 집합의 부분집합이 됩니다.
ex) = {1, 2, 3, 4}의 부분집합 - ∅(공집합), {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} => 총 16개
증명을 원하신다면...
귀류법을 사용해 증명하겠습니다.
'공집합은 모든 집합의 부분집합이다'를 부정하면 '공집합을 부분집합으로 갖지 않는 집합이 존재한다'가 됩니다.
이 명제에 따라, 그 집합을 A라고 하면, 공집합⊆A는 거짓이므로 'x∈공집합 ⇒ x∈A'에 대한 반례, 즉 이를 거짓으로 만드는 x가 존재하게 됩니다.
그런데 공집합의 정의에 따르면 어떤 x에 대해서도 'x∈공집합'는 거짓이므로 'x∈공집합 ⇒ x∈A'는 참이며, 주장되는 x는 존재하지 않고, 부정은 거짓임이 증명됩니다.
부정이 거짓이 됨을 증명했으므로 '공집합은 모든 집합의 부분집합이다'라는 명제는 참이 됩니다.
좋은하루 보내시고 채택부탁드립니다~^^
