집합에서 상이라는 것은 치역을 말하나요?

Question

수학에서 집합입니다. X에서 Y로의 함수 f가 있을 때, 상은 공역을 말하나요? 아니면 치역을 말하나요? 직관적으로 치역일 것은 같은데, 궁금합니다.

Answer 1

안녕하세요. 김재현 전문가입니다.

집합에서 상은 치역을 말합니다. 치역이란 그함수의 모든 출력값의 집합을 말하며 정의역 모든원소의 상 또는 함수값들의 집합을 말합니다.

Answer 2

안녕하세요.

함수 f:X→Y가 주어졌을 때, "상"이라는 용어는 함수 f 에 의해 실제로 얻어지는 모든 결과값들의 집합을 의미합니다. 이를 치역이라고 부릅니다. 즉, f 의 상은 집합 Y 중에서 실제로 X 의 원소들에 의해 매핑되는 원소들의 집합을 말합니다.
구체적으로, f 의 상은 다음과 같이 표현될 수 있습니다: Im(f)={f(x)∣x∈X}
이는 XXX 의 모든 원소 x 에 대하여 f(x) 로 이루어진 Y 의 부분집합입니다.

반면에, "공역"은 함수 f 가 매핑할 수 있는 가능한 모든 결과값들의 집합, 즉 Y 전체를 의미합니다. 모든 y∈Yy 가 반드시 f(x) 형태로 나타나는 것은 아니기 때문에, 공역과 치역은 서로 다를 수 있습니다. 직관적으로 생각하신 것처럼, 함수의 상은 치역을 의미합니다. 공역은 그보다 더 넓은 범위의 집합으로, 함수에 의해 반드시 매핑되지 않아도 되는 모든 가능한 결과값들을 포함합니다.