수능 확률과 통계 이항분포 잘 아시는분 있나요?

Question

이항분포에서 사건의 발생 순서가 다르면 서로 다른 경우인 이유가 궁금합니다.

n번 중 r번 사건이 일어날 때 각 사건이 일어날 확률에

가능한 경우의 수가 nCr로, nCr p^r (1-p)^(n-r)이 된다는 보충 설명이 있는데 이해가 되질 않습니다. 설명해 주실분 계신가요

Answer 1

안녕하세요.

이항분포는 성공과 실패 두 가지 결과만 가능한 실험을 여러 번 반복하는 과정에서 발생 확률을 다루는 통계적 모델입니다. 이항분포의 확률 공식은 다음과 같습니다 :

P(X=r) = (nCr) pʳ (1-p)ⁿ⁻ʳ

여기서 :

n은 시행 횟수입니다.
r은 성공의 횟수입니다.
p는 성공할 확률입니다.
(nCr)은 조합 수로, n번 시행 중 r번 성공할 수 있는 경우의 수를 나타냅니다.

이항분포에서 사건의 발생 순서가 중요한 이유는 확률의 독립성과 경우의 수 계산과 관련이 있습니다. 각 사건이 독립적이며, 성공 또는 실패가 각 시행에서 동일한 확률로 발생할 때, 전체 실험에서 특정 결과를 얻을 확률은 각 시행에서 발생한 결과들의 조합을 고려해야 합니다.

각 사건의 순서가 다른 경우, 왜 서로 다른 경우인가요?

이항분포에서 순서가 다른 경우가 서로 다른 경우로 간주되는 이유는, 각 시행이 독립적이며 각 시행의 결과가 고유하기 때문입니다. 예를 들어, 시행이 세 번 있고 성공 확률이 p, 실패 확률이 1-p인 경우를 생각해 보면, 세 번의 시행 중 두 번 성공하고 한 번 실패하는 경우는 다음과 같이 여러 가지 방법으로 일어날 수 있습니다 :

1. 성공-성공-실패
2. 성공-실패-성공
3. 실패-성공-성공

이렇게 각 경우의 순서가 다르면 서로 다른 결과로 간주됩니다. 이는 각 순서마다 다른 사건이 일어나는 것이므로 독립적이고 고유한 결과입니다.

이항분포의 확률 공식

공식에서 (nCr)은 n번 시행 중 r번 성공하는 경우의 수를 의미합니다. 이는 특정 횟수만큼 성공하는데, 그 성공이 일어나는 순서가 여러 가지 일 수 있기 때문입니다. (nCr)은 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다 :

(nCr) = n! / (r!(n-r)!)

이 식은 n번의 시행 중 r번의 성공이 발생할 수 있는 모든 경우의 수를 계산합니다. 그 다음으로, 성공이 발생할 확률이 pʳ, 실패가 발생할 확률이 (1-p)ⁿ⁻ʳ로 곱해집니다. 이로써 성공과 실패가 특정 횟수로 발생할 확률을 구하게 됩니다.

이항분포의 확률을 계산할 때, 가능한 모든 경우의 수와 각 경우에서 성공과 실패가 발생할 확률을 함께 고려합니다. 예를 들어 n번 시행 중 r번 성공할때, 이 성공이 발생하는 방법은 여러 가지일 수 있으므로, 가능한 모든 경우의 수를 조합 개수인 (nCr)로 고려하게 됩니다. 그런 다음 각 경우의 성공 확률 pʳ과 실패 확률 (1-p)ⁿ⁻ʳ를 곱하여 전체 확률을 구합니다.
따라서, 이항분포에서 순서가 다른 경우가 모두 서로 다른 결과로 간주되는 이유는 각 경우가 독립적인 사건으로 발생하고, 각 경우마다 성공과 실패의 순서가 다르기 때문입니다. 이를 통해 이항분포의 확률을 정확히 계산할 수 있습니다.