왜 비유클리드 기하학의 쌍곡평면에서 내접원의 넓이는 삼각형이커짐에 따라 같이 커지지 않는거죠?

Question

비유클리드 기하학에 중 쌍곡기하를 탐구하고 있는데, 유클리드 평면에서는 삼각형이 커지면, 그에 따라 내접원의 넓이도 커진다고하는데, 쌍곡평면에서는 그렇지 안대요. 왜 그런걸까요?

Answer 1

안녕하세요.

비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 기하학에서 삼각형과 그 내접원의 관계는 유클리드 기하학과는 근본적으로 다릅니다. 이 차이는 쌍곡 평면의 특성과 기하학적 구조에서 기인합니다.
쌍곡 기하학에서, 평면은 일정한 음의 곡률을 가지고 있으며, 이는 쌍곡 평면 상의 거리와 각도의 측정에 특별한 특성을 부여합니다. 쌍곡 평면의 거리 함수는 유클리드 평면과는 다르게 작동합니다. 쌍곡 평면에서는 두 점 사이의 거리가 유클리드 평면보다 더 빠르게 증가합니다.
유클리드 기하학에서는 삼각형의 크기가 커질수록 내접원의 반지름도 커지는 경향이 있습니다. 삼각형의 세 변의 길이가 증가함에 따라, 그 삼각형의 내접원도 커지기 때문입니다. 이는 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름이 직접적으로 연결되어 있기 때문이기도 합니다. 쌍곡 기하학에서는 삼각형이 커질수록 그 내부 각의 합은 일정하게 유지되며, 삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도보다 작습니다. 이 때문에 삼각형의 세 변이 유클리드 평면에서와 같이 단순히 길어지는 것이 아니라, 공간의 곡률에 따라 각 변의 길이 증가가 내접원의 반지름에 다르게 영향을 미칩니다.