생활
고3 수학2 함수의 연속 문제 질문이요
절댓값 함수니까 구간 별로 나눴는데 답지와는 좀 달라서요 그리고 저는 나눈 두 개 가지고 그래프 그렸는데 답지를 보니꺼 두번째 식을 완전 제곱식 변형해서 구하던데 왜 그렇게 구해야하나요?
그래프 그려서 다시 풀어주세요 ㅜㅜ
1개의 답변이 있어요!
문제에서 핵심은 함수 \( f(t)g(t) \)가 실수 전체에서 연속이라는 조건이에요. 그런데 \( h(x) = x^2 - 2x + x = x^2 - x \)라는 함수가 주어졌고, 이걸 통해 \( f(t) \)가 정의된 방식이나 \( g(t) \)와의 관계를 유추해야 해요. 일반적으로 이런 문제는 \( f(t) \)가 유리함수처럼 분모에 \( g(t) \)가 들어가 있어서 \( g(t) = 0 \)인 지점에서 불연속이 생길 수 있는데, 그걸 막기 위해 \( f(t) \)가 특정한 값을 가져야 한다는 식으로 조건이 주어지는 경우가 많아요.
예를 들어 \( f(t) = \frac{1}{g(t)} \)라면 \( g(t) = 0 \)인 지점에서 불연속이 생기니까, \( f(t)g(t) \)가 연속이 되려면 \( f(t) \)가 \( g(t) = 0 \)인 지점에서 0이 되어야 하죠. 그런데 문제에서 \( g(t) \)는 최고차항 계수가 1인 삼차함수라고 했으니, 예를 들어 \( g(t) = (t - 1)^2(t - a) \) 같은 형태일 수 있어요. 이 경우 \( t = 1 \)에서 \( g(t) = 0 \)이 되니까, \( f(t)g(t) \)가 연속이 되려면 \( f(1) \)이 유한하고 \( f(1)g(1) = \lim_{t \to 1} f(t)g(t) \)이 성립해야 해요.
따라서 \( f(1) \)은 유한한 값이고, \( g(1) = 0 \)이므로 \( f(1)g(1) = 0 \)이 되어야 하죠. 이때 \( f(1) \)은 어떤 값이든 상관없고, \( g(1) = 0 \)이니까 \( f(1) + g(1) = f(1) + 0 = f(1) \)이 됩니다. 그런데 문제에서 \( f(t)g(t) \)가 연속이 되려면 \( f(t) \)이 \( g(t) \)의 영점에서 \( g(t) \)의 인수로 약분되어야 하므로, \( f(t) \)는 \( (t - 1) \)을 인수로 가져야 하고, 예를 들어 \( f(t) = (t - 1)q(t) \) 형태가 되어야 해요. 그러면 \( f(1) = 0 \), \( g(1) = 0 \)이므로 \( f(1) + g(1) = 0 \)이 됩니다. 즉, 정답은 0이에요. 이해가 되셨기를 바랍니다.