미적분 그래프 그리기 알려주세요!!

Question

0보다 작을 때 위로 볼록으로 그려지는 이유가 궁금해요..클땐 아래로 볼록인 이유도요

극값이나 좌표는 알더라도 이어지는 모양을 찾는 방법이 궁금해요

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Answer 1

안녕하세요.

아하토큰 내에서 수식을 구현하는데 제한이 있어 가시성이 좋은 식을 표현하는데 어려움이 있음을 미리 말씀드리고 설명해보겠습니다. 이 문제에서 주어진 함수 f(x) = exp(x) - exp(-x)는 쌍곡사인 함수 sinh(x)와 동일합니다.

1. 함수의 기울기 (첫 번째 도함수):
   

   f'(x) = exp(x) + exp(-x)
   

2. 함수의 볼록성 (두 번째 도함수):
   

   f''(x) = exp(x) - exp(-x)
   

도함수와 볼록성 분석:

• 첫 번째 도함수 (f'(x)):
  

  • f'(x) = exp(x) + exp(-x)는 항상 양수입니다 (exp(x) + exp(-x) ≥ 2 for all x). 이는 함수가 모든 x에 대해 증가한다는 것을 의미합니다.
    

• 두 번째 도함수 (f''(x)):
  

  • f''(x) = exp(x) - exp(-x)는 x = 0에서 0이며, x가 0보다 작으면 음수, 0보다 크면 양수입니다. 이는 x = 0에서 함수의 볼록성이 바뀐다는 것을 의미합니다.
    

볼록성의 변화:

• x < 0: f''(x) < 0으로, 함수는 아래로 볼록 (concave down)입니다.

• x > 0: f''(x) > 0으로, 함수는 위로 볼록 (concave up)입니다.
  

그래프의 전반적인 모양:

• 극값: f'(x)가 항상 양수이므로 극값이 존재하지 않습니다.

• 행동: x → ∞로 갈 때, exp(x)의 성장률이 exp(-x)의 감소율보다 훨씬 빠르기 때문에, f(x) → ∞.

• 행동: x → -∞로 갈 때, exp(-x)가 exp(x)보다 훨씬 빠르게 증가하므로, f(x) → -∞.

• 변곡점: x = 0에서는 볼록성이 바뀌므로 변곡점입니다.
  

그래프 그리기:

• x = 0에서의 함수 값: f(0) = 0.

• x가 양의 무한대로 갈수록 함수는 양의 무한대로 증가합니다.

• x가 음의 무한대로 갈수록 함수는 음의 무한대로 감소합니다.

• x = 0에서 변곡점을 갖고, x < 0에서는 아래로 볼록, x > 0에서는 위로 볼록한 형태를 그립니다.
  

이 설명을 바탕으로 그래프를 그리면, x축을 따라 연속적으로 증가하는 f(x)의 모습을 확인할 수 있으며, x = 0에서 변곡점을 가지는 것을 볼 수 있습니다.