코흐 곡선도 프랙탈의 예 중 하나인가요?
자기 유사성을 가지며 축척이 따로 없는 구조인 프랙탈(fractal)의 예 중 코흐 곡선(koch Curve)도 포함할 수 있나요?? 맞다면 왜 그런지 이유를 알려주시면 감사하겠습니다!!
안녕하세요. 원형석 과학전문가입니다.
차원이라는 단어에 대한 혼동에서 모든 문제가 시작됩니다.
예를 들어서, 질문자께서 예로 든 코흐 곡선(Koch curve)을 살펴봅시다. 이 곡선은, 그 이름이 암시하듯이, 위상수학적인 입장에서 보면 단지 선분일 뿐입니다. 엄밀하게 표현하자면, 단위구간 [0, 1]에서 코흐 곡선으로 가는 위상동형사상(homeomorphism)이 존재하며, 따라서 코흐 곡선과 선분은 위상동형입니다. 엄밀하지 않게 말하자면, 코흐 곡선은 선분을 연속적으로 늘이고 꺾어서 만들 수 있는 도형이라는 것입니다. 따라서 코흐 곡선의 위상적 차원(topological dimension)은 1입니다.
그런데 위상적이라는 개념은 그 대상이 어떤 특정한 공간 내에 어떤 형태로 들어있는지에 대해 전혀 관심이 없는 개념입니다. 극단적인 예로, 원(circle)은 모든 닫힌 매듭(closed knot)과 위상동형입니다. 매듭이란 것은 1차원 선분이 3차원 상에서 어떻게 꼬여있는지에 대한 이야기이고, 따라서 매듭은 그 자체의 선분보다 그 선분이 차지하는 공간에 대한 문제입니다. 즉 이런 정보는 위상적으로 잡아낼 수 없습니다.
코흐 곡선이 소수차원을 갖고 있다는 식의 이야기 역시, 이렇게 위상적으로는 잡아낼 수 없는 다른 식의 정보에 대한 이야기입니다. 보통 프랙탈 등을 다룰 때 등장하는 소수차원의 개념은, 프랙탈 차원 혹은 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)이라고 불리는 개념입니다. 이 개념이 어떤 것인지 조금 더 자세히 알아봅시다. 우선 주어진 도형 E에 대하여, E의 d차원 부피에 해당하는 값 m(d, X)를 정의합니다. 예를 들어서 m(1, E)는 도형 E의 길이에 해당하는 값을 가리킬 것이며, m(3, E)는 E의 진짜 부피에 해당하는 값을 가리킬 것입니다. 이때, (도형 E에 의존하는) 어떤 값 α이 존재해서, d < α 이면 m(d, E) = ∞ 이고 d > α 이면 m(d, E) = 0 임을 증명할 수 있습니다. 이 말인즉슨, E는 d (< α) 차원으로 보기에는 너무 크고, d (> α)차원으로 보기에는 너무 작다는 것입니다. 그러므로 우리는 이 α의 값을 E의 차원으로 삼을 수 있고, 이 값이 바로 E의 프랙탈 차원입니다. 증명이 쉽지는 않지만, 우리가 평소에 생각하던 선분이나 평면도형, 그리고 입체도형같은 경우 그 프랙탈 차원이 우리가 상식적으로 생각하던 그 차원과 일치여 각각 1, 2, 3으로 나타남을 보일 수 있습니다.
즉, 코흐 곡선이 약 1.26차원이라는 것에는, 코흐 곡선이 선분으로 보기에는 너무 크지만, 평면으로 보기에는 너무 작다는 의미가 포함되어 있다고 생각하면 그럴듯하다는 것입니다.
음... 그리고 (x)로 나타낸다는 것이 무슨 의미인지 사실 정확히 감은 안 오는군요. 하지만 코흐 곡선도 그렇고, 보통 수학자들은 곡선이라는 말을 '하나의 변수로 매개 가능한 도형'을 나타낼 때 씁니다. 예를 들어서 코흐 곡선도 어떤 적절한 함수 φ : [0, 1] → R² 로 나타낼 수 있습니다. 따라서 코흐 곡선 위의 각 점들은 (적당한 x에 대하여) φ(x)로 표현할 수 있습니다.
안녕하세요. 형성민 과학전문가입니다.
코흐 곡선은 자기 유사성(self-similarity)을 가지고 있습니다. 자기 유사성은 구조의 작은 부분이 전체 구조와 유사한 패턴을 가지는 성질을 의미합니다. 즉, 코흐 곡선은 세부적으로 살펴보면 자신의 큰 구조를 반복하여 포함하고 있습니다. 코흐 곡선은 초기 선분에서 시작하여 반복적인 규칙에 따라 선분을 추가하면서 생성됩니다. 각 선분은 초기 선분의 형태를 유지하면서 작은 규모로 반복되며, 이 과정을 반복함으로써 복잡한 곡선이 형성됩니다.
안녕하세요.
코흐 곡선은 프랙탈의 일종입니다. 프랙탈은 반복적인 패턴을 가지고, 자기 유사성(self-similarity)을 나타내는 기하학적 구조입니다. 코흐 곡선은 한 선분을 세 개의 작은 선분으로 나누고, 중간에 새로운 삼각형을 추가함으로써 만들어집니다. 이 과정을 반복하면, 계속해서 더 작은 크기의 선분들로 이루어진 복잡한 패턴이 만들어지게 됩니다. 이러한 구조는 프랙탈의 핵심적인 특징인 자기 유사성을 보여줍니다.
코흐 곡선의 경우, 자기 유사성은 선분의 길이가 반으로 줄어들고, 패턴이 반복될 때마다 점점 더 복잡한 모양을 만들어냅니다. 따라서 코흐 곡선은 프랙탈의 대표적인 예 중 하나입니다. 프랙탈의 다른 예로는 삼각형 프랙탈, 맨델브로트 집합, 자연계에서 발견되는 나무, 구름 등이 있습니다.
안녕하세요. 김학영 과학전문가입니다.네, 코흐 곡선는 수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 중의 하나입니다.코흐 곡선은 시작점에서 시작하여 일정한 알고리즘에 따라 한 변씩 붙여가며 구성된 도형으로, 자기 유사성을 가지고 있습니다. 즉, 전체 모양과 세부적인 부분들의 모양이 서로 유사하게 반복되는 구조를 가지고 있습니다.