근의 공식은 어떻게 나온 수식인가요?

Question

안녕하세요? 모든 수학 공부를 하다보면 항상 근의 공식을 외우라고 하는데요, 이 근의공식은 어떻게 나오게 된 것인지 알고싶습니다.

Answer 1

안녕하세요.

아하토큰에서는 수식을 디테일하게 구현하는데 한계가 다소 있습니다. 최대한 설명을 해드릴 예정이지만, 다소 부족함이 있을 수 있음을 미리 양지 해주세요. 사실 근의 공식관련 문제는 더 이후의 단계인 미분 적분을 배우게 되면 쉽게 해결이 되기도 합니다. 미분해버리면 답이 나오는 것을 경험하게 될 것입니다. 다시 근의 공식에 대해 설명드리겠습니다.

먼저, 이차 방정식의 일반 형태 ax^2 + bx + c = 0 에서

모든 항을 계수 a로 나누어 x^2의 계수가 1이 되도록 만듭니다 : x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0

좌변을 완전제곱식으로 변형하기 위해 x 항의 계수의 절반을 제곱하여 추가하고 그 값을 빼줍니다 :
x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + (c/a) = 0

완전제곱식을 정리하면 : (x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + (c/a) = 0

상수항을 우변으로 이동 시킵니다 : (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - (c/a)

우변을 통분하여 하나의 분수로 만듭니다 :
(x + b/2a)^2 = (b^2/4a^2) - (4ac/4a^2) (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / 4a^2

양변에 제곱근을 취합니다:
x + b/2a = ± sqrt((b^2 - 4ac) / 4a^2) x + b/2a = ± sqrt(b^2 - 4ac) / 2a

마지막으로, x를 구하기 위해 b/2a를 우변으로 이동시킵니다:
x = -b/2a ± sqrt(b^2 - 4ac) / 2a x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

이로써 이차 방정식의 해를 구하는 근의 공식이 유도되었습니다.