등차수열 식 세우기 이렇게 세워도 되나요?
삼차방정식에서 3차항의 계수에서 상수항 빼고 더하고 해서 식을 세우라고 하던데 3차항 계수에서 그냥 1빼고 1더하고 해서 식을 세우면 안되나요? 왜 상수를 빼서 식을 세우는지 모르겠어요 상수항이 공차인가요?안녕하세요.
이러한 문제에서는 비에타의 공식(Vieta`s formulas)을 통해 방정식의 계수와 근 사이의 관계를 설정합니다. 등차수열의 성질을 이용하여 각 근이 어떻게 연관되는지를 이해하는 것이 중요합니다.
삼차방정식 x³ - 3x² - 6x + k = 0에서 근이 a - d, a, a + d로 주어진 경우, 이들은 등차수열을 형성합니다. 등차수열의 중간 항 a는 첫 항과 마지막 항의 산술적 평균과 같기 때문에, 근의 관계는 자연스럽게 a = (a - d) + (a + d) / 2로 표현됩니다. 이는 등차수열의 정의를 만족하며, 중간값이 첫 항과 세 번째 항의 평균임을 보여줍니다.
문제의 요구 사항에 따라, 방정식의 근과 계수 사이의 관계를 설정할때 근의 등차수열적 특성을 반영하여 계수를 정의합니다. 계수 a, b, c의 관계를 근을 통해 파악하는 것이며, 이는 비에타의 공식을 사용하여 나타낼 수 있습니다 :
a + b+ c = -b / a
ab + ac + bc = c / a
abc = -d / a
여기서 상수항 k는 근의 곱과 관련이 있으며, 등차수열의 공차 d를 이용하여 k를 표현할 수 있습니다. 공차가 근의 차이를 나타내기 때문에, 이를 통해 상수항을 계산하는 것이 타당합니다. 따라서 문제에서는 3차항 계수에서 상수항을 빼는 것이 아니라, 이러한 방식으로 계수를 조절합니다.
결론적으로, 등차수열의 성질을 적용하여 삼차방정식의 계수를 설정하는 것은 근의 성질을 반영하는 정교한 방법이며, 단순히 계수에서 1을 빼고 더하는 것과는 다릅니다. 이 과정은 근의 등차수열적 특성을 정확히 반영하여 방정식을 구성하는데 필요한 과정입니다. 이런 해석에 대한 심도있는 내용을 확인해보고 싶으시다면 Advanced Algebra와 같은 문헌을 추천드립니다.