선형 미분방정식 계수 낮추기 문제 질문

Question

여기서 c2=0, c1= -2가 어디서 나오는지 모르겠습니다 치환하고 계수를 낮춰서 y=u(x)e^x 관련된 식 까지는 풀었는데 c2=0 c1=-2는 어디서 도출해내야 하는지 모르겠네요...

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Answer 1

안녕하세요. 서종현 전문가입니다.

계수 낮추기 방법에서 상수(c_1,c_2)는 두번째 해(y_2)의 일반해 형태에서 결정되는 임의 상수입니다.

미분 방정식의 두 해는 독립적인 해(y_1=e^x)와 (y_2)로 표현되며, (y_2 = u(x)y_1 = u(x)e^x)꼴입니다

여기서 구한 일반해는 [y=u(x)e^{x} = -\frac{c_1}{2}e^{-x}+c_2e^{x}상수(c_1,c_2)는 적분 과정에서 도출된 적분상수로, 문제나 경계조건에 따라 선택됩니다. 예제에서는 두번째 해(y_2=e^{x})를 얻고자 하기에 (c_2=0),그리고 상수배를 맞추기 위해(c_1=-2)를 임의로 정한 것입니다.

즉,(c_1,c_2)는 해의 형태를 단순화하고 원하는 독립해를 명확히 하기 위한 선택이며, 적분상수로부터 결정하는 값입니다.

Answer 2

안녕하세요. 옥성민 과학전문가입니다.

일차독립이란 어떤 미분방정식의 해를 y = y1*C1 + y2*C2이렇게 표현된다고 하는것입니다. C2와 C1는 어떤 상수 입니다. 풀이를 보면, u = -1/2*C1*e^(2x) +C2인데 C2는 u'를 적분하면서 생긴 상수이고, C1은 w' +2w=2에서 w를 적분으로 구할때, 생기는 일반 상수 입니다. 즉 정리하자면 C2와 C1은 어떠한 상수 입니다. (0도, 정수도, 실수도 넣을수 있음) 그런데 y1를 바탕으로 어떤 y2를 하나 구할때 C2와 C1의 측정 값을 정해서 Y2를 정하는 것입니다. 가장 보기 쉬운게 C2= 0, C1 = -2일때를 y2라고 정하면 y2=e^(-x)가 되는 것이지요. 그래서 위 미분 방정식의 해를 y = y1*C1 + y2*C2 = e^x*C1 + e^(-1)*C2라고 적을 수 있는 것입니다.