미분적분학 문제 풀어주세요 도저히 모르겠어요

Question

1. u=√(r^2+s^2 ),r=y+xcost,s=x+ysint이고 x=1,y=2,t=0일때 ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂t 각각의 값을 유도과정과 께 각각 알려주세요. 각각 알려주도록 한거였어요.

2. xyz = cos(x+y+z)일때 ∂z/∂x, ∂z/∂y를 각각 알려주세요.

Answer 1

제가 알려드릴 수 있는 방법은 이렇게 됩니다.

u=r2+s2​, 𝑟=𝑦+𝑥cos⁡(𝑡),r=y+xcos(t), 𝑠=𝑥+𝑦sin⁡(𝑡).s=x+ysin(t).

먼저 𝑟r과 𝑠s를 주어진 조건에 대입하여 표현하세요. 𝑟=𝑦+𝑥cos⁡(𝑡),r=y+xcos(t), 𝑠=𝑥+𝑦sin⁡(𝑡).s=x+ysin(t).

그리고 𝑢u를 𝑟r과 𝑠s의 함수로 표현해요. 𝑢=(𝑦+𝑥cos⁡(𝑡))2+(𝑥+𝑦sin⁡(𝑡))2.u=(y+xcos(t))2+(x+ysin(t))2​.

이제 각 변수에 대한 편미분을 계산하면 돼요.

1. ∂𝑢∂𝑥∂x∂u​를 계산하면요 ∂𝑢∂𝑥=12𝑟2+𝑠2⋅(2(𝑦+𝑥cos⁡(𝑡))cos⁡(𝑡)+2(𝑥+𝑦sin⁡(𝑡))).∂x∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(y+xcos(t))cos(t)+2(x+ysin(t))).

2. ∂𝑢∂𝑦∂y∂u​를 하면요 ∂𝑢∂𝑦=12𝑟2+𝑠2⋅(2(𝑦+𝑥cos⁡(𝑡))+2(𝑥+𝑦sin⁡(𝑡))sin⁡(𝑡)).∂y∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(y+xcos(t))+2(x+ysin(t))sin(t)).

3. ∂𝑢∂𝑡∂t∂u​를 하면요 ∂𝑢∂𝑡=12𝑟2+𝑠2⋅(2(𝑥cos⁡(𝑡)sin⁡(𝑡)−𝑦sin⁡2(𝑡)+𝑥cos⁡2(𝑡)−𝑥sin⁡2(𝑡)+𝑦sin⁡(𝑡)cos⁡(𝑡)+𝑦cos⁡2(𝑡))).∂t∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(xcos(t)sin(t)−ysin2(t)+xcos2(t)−xsin2(t)+ysin(t)cos(t)+ycos2(t))).

𝑥=1,𝑦=2,𝑡=0x=1,y=2,t=0일 때의 값을 구해요.

1. ∂𝑢∂𝑥∂x∂u​: ∂𝑢∂𝑥=12𝑟2+𝑠2⋅(2(2+1⋅1)⋅1+2(1+2⋅0))=1210⋅(5+2)=7210.∂x∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(2+1⋅1)⋅1+2(1+2⋅0))=210​1​⋅(5+2)=210​7​.

2. ∂𝑢∂𝑦∂y∂u​: ∂𝑢∂𝑦=12𝑟2+𝑠2⋅(2(2+1⋅1)+2(1+2⋅0)⋅0)=1210⋅(5+2)=7210.∂y∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(2+1⋅1)+2(1+2⋅0)⋅0)=210​1​⋅(5+2)=210​7​.

3. ∂𝑢∂𝑡∂t∂u​: ∂𝑢∂𝑡=12𝑟2+𝑠2⋅(2(1⋅0⋅1−2⋅02+1⋅12−1⋅02+2⋅0⋅1+2⋅12))=1210⋅2=110.∂t∂u​=2r2+s2​1​⋅(2(1⋅0⋅1−2⋅02+1⋅12−1⋅02+2⋅0⋅1+2⋅12))=210​1​⋅2=10​1​.

따라서, 𝑥=1,𝑦=2,𝑡=0x=1,y=2,t=0일 때의 값은 각각 7210210​7​과 11010​1​입니다.

이렇게 하시면 되겠네요.