안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
벡터의 내적과 외적은 19세기 수학자들이 복소수를 더 넓은 차원으로 확장하려는 치열한 고민 끝에 탄생한 결과물입니다. 그 중심에는 아일랜드의 수학자 윌리엄 로언 해밀턴과 독일의 헤르만 그라스만이 있습니다.
가장 먼저 내적의 씨앗이 된 것은 해밀턴이 발견한 사원수(Quaternion)입니다. 당시 수학자들은 평면에서의 복소수를 넘어 공간(3차원)에서도 수치화된 계산을 하고 싶어 했습니다. 해밀턴은 10년 넘게 고민하다가 1843년, 세 개의 허수 단위(i, j, k)를 도입한 사원수 체계를 완성했습니다. 이때 두 사원수를 곱하는 과정에서 오늘날 우리가 아는 내적과 외적의 형태가 함께 나타나게 되었습니다.
하지만 사원수는 계산이 너무 복잡하다는 단점이 있었습니다. 이를 실용적인 벡터 해석학으로 다듬은 사람이 바로 미국의 조시아 윌러드 기브스와 영국의 올리버 헤비사이드입니다. 기브스는 물리적인 현상을 효율적으로 설명하기 위해 사원수 연산 중 실수 부분만을 따로 떼어내 '내적(Inner Product)'이라 부르고, 벡터 부분의 연산을 '외적(Outer Product)'으로 독립시켰습니다.
내적이 특히 중요하게 다뤄진 이유는 에너지와 일이라는 물리적 개념 때문이기도 합니다. 물리학에서 '일(Work)'은 힘의 방향과 이동 방향이 얼마나 일치하느냐에 따라 결정되는데, 이 방향의 일치성을 수학적으로 가장 간결하게 표현하는 방법이 바로 두 벡터의 성분을 곱해 더하는 내적이라고 불려요 :)