고민상담
우함수 f, 기함수 g일 때, 둘을 합성한 (f.g)(x)=(g.f)(x)는 항상 성립하나요?
학교에서 우함수, 기함수에 대해 배웠고 한 문제에서 (f.g)(x)=(g.f)(x)가 나왔는데 선생님이 위 식은 성립한다고 하셨습니다. 그래서 왜 그런지, 항상 성립하는지 궁금해져서 찾아봤는데 잘 안 나오네요... 혹시 우함수 f, 기함수 g일 때, 둘을 합성한 (f.g)(x)=(g.f)(x)는 항상 성립하나요? 그렇다면 이유는 무엇인가요?
1개의 답변이 있어요!
우함수와 기함수의 합성에 대해 설명하겠습니다. 우함수는 $f(-x) = f(x)$를 만족하는 함수로 y축 대칭성을 가집니다.
기함수는$g(-x) = g(x)$를 만족하는 함수로, 원점 대칭성을 가집니다.
주어진 문제에서 $(f \cdot g)(x) = (g \cdot f)(x)$ 라는 식이 성립하는 이유를 이해하기 위해서는 합성 함수의 성질을 고려해야 합니다. 일반적으로 두 함수의 합성은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 $(f \cdot g)(x) = (g \cdot f)(x)$가 항상 성립한다고 볼 수 없습니다. 그러나 특정 조건하에서는 이 식이 성립할 수 있습니다.
우함수와 기함수의 곱에 관한 성질을 살펴보면, 우함수와 기함수를 곱하면 그 결과는 기함수가 됩니다. 이는 우함수의 대칭성과 기함수의 대칭성이 결합되어 원점 대칭성을 유지하기 때문입니다.
그러니까 주어진 식이 항상 성립하는 것은 아니고 특정한 경우나 조건에서만 성립할 수 있습니다. 일반적인 경우에는 $(f \cdot g)(x) = (g \cdot f)(x)$가 같지 않을 수 있으므로 주의가 필요합니다.