수학에서 힐베르트의 호텔이라는 것은 어떤것을 이야기 하나요?
수학적인 내용에서 힐베르트의 호텔이라는 말이 있던데요
이 힐베르트의 호텔이라는것은 어떤 의미인가요?
수학적인 개념에서의 뜻이 무엇인지 궁금합니다.
힐베르트-호텔(Hilbert's Hotel)은 수학자 데이비드 힐베르트(David Hilbert)에 의해 제시된 역설적인 수학적 예시입니다. 이 예시는 무한 개의 방을 가진 호텔에 대한 이야기로, 다음과 같은 의미를 가지고 있습니다.
힐베르트-호텔은 무한 개의 방을 가지고 있으며, 각 방에는 무한 번호가 붙어 있습니다. 이 호텔에는 이미 무한히 많은 손님이 묵고 있을 때, 새로운 무한 개의 손님이 도착한다고 가정해 봅시다.
이때, 힐베르트-호텔은 모든 손님에게 방을 재배치하여 새로운 손님을 수용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 방의 손님이 두 번째 방으로 이동하고, 두 번째 방의 손님이 세 번째 방으로 이동하는 식으로 계속해서 방을 한 칸씩 비워줍니다. 그러면 첫 번째 방이 비어있게 되고, 새로운 손님은 첫 번째 방으로 들어갈 수 있습니다. 이와 같은 방식으로 무한히 많은 손님을 수용할 수 있습니다.
이 예시는 무한의 개념과 집합 이론에 관련된 개념을 시각화하고 이해하기 위해 사용됩니다. 힐베르트-호텔은 무한 개념의 특성을 보여주며, 우리가 직관적으로 이해하기 어려운 무한의 개념을 다루는 수학적인 사고를 돕는 예시로 활용됩니다.
안녕하세요. 모두의 다락방입니다.
무한 집합의 개수에 관한 비유입니다
‘힐베르트의 호텔’이라 불리는 재미있는 비유가 있어 소개해볼까 한다. 힐베르트는 ‘무한 호텔’의 관리인이다. 이 호텔은 1호실, 2호실, 3호실 … 등 무한개의 방을 갖춘 어마어마한 호텔이다. 얼마나 멋진 호텔인지 손님이 가득 차 있어 빈 방이 없다. 이 때 손님 한 명이 찾아온다.
손님 : 빈 방 있나요?
힐베르트 : 없습니다.
손님 : 소문 듣고 왔는데, 빈 방이 없다니 유감이군요.
힐베르트 : 잠깐만요. 손님들에게 양해를 구하고, 빈 방을 구해드릴 수 있습니다.
대체 힐베르트는 무슨 배짱으로, 없는 빈 방을 만들려는 걸까?
힐베르트 : 저희 호텔을 찾아주신 손님 여러분께 양해 말씀 드립니다. 손님이 한 분 찾아오셔서 방을 내드리고자 하니, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로, 3호실 손님은 4호실로 … n호실 손님은 (n+1)호실로 옮겨 주시면 감사하겠습니다.
그 많은 손님에게 방을 옮기라고 하다니, 서비스가 영 아니다. 하지만 멋진 호텔에 묵다 보니 마음이 너그러워진 손님들은 기꺼이 방을 옮겨 준다. 이제 1호실이 비었다. 새로 온 손님에게 빈 방을 내어줄 수 있게 됐다! 모든 손님에게 방을 옮기라고 하다니 괘씸한가?
그러면 1호실 손님은 10호실로, 10호실 손님은 100호실로, 100호실 손님은 1000호실로 … 10n호실 손님들만 10n+1호실로 옮기라고 하면 좀 덜 옮겨도 되지 않을까?
(그래도 여전히 무한 명의 손님이 방을 옮겨야 한다). 손님이 1,000명 몰려 와도 빈 방을 내줄 수 있다. 하나를 알려주면 천을 아는 독자들에게 일일이 방법을 설명할 필요는 없을 것 같다.
매번 방을 옮겨달라고 하니 짜증이 난 기존 투숙객들이 호텔을 골탕 먹이려고, 각자 친구 한 명씩 같은 날 초대해버렸다.
기존 투숙객만큼의 (무한 명의) 사람이 한꺼번에 찾아와 자신들에게도 빈 방을 내달라고 요구했다. 그래도 힐베르트는 눈 하나 깜짝하지 않는다. 호텔 건립자 칸토어의 비법을 전수받았기 때문이다.
힐베르트 : 저희 호텔을 찾아주신 손님 여러분께 양해 말씀 드립니다. 찾아오신 손님들에게 방을 내드리고자 하니, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로 … n호실 손님은 2n호실로 옮겨 주시면 감사하겠습니다.
이제 1호실, 3호실, 5호실, 7호실 …이 비었다. 이제 찾아온 무한 명의 손님을 투숙시키는 것은 아무 것도 아니다! 투숙객들은 호텔의 솜씨에 혀를 내두르며 옮겨갈 수밖에 없었다.
힐베르트의 호텔은 언제나 빈 방을 내어줄 수 있는 무적의 호텔일까? 호텔 투숙객들이 각자 무한 명의 사람을 초대하면 어떻게 될까? 힐베르트의 호텔이 어떻게 명성을 이어갈지 혹은 명성이 무너질지 차차 살펴보기로 하자.