미분다양체의 접공간에서 벡터장의 존재성 증명 방법이 궁금합니다.

Question

안녕하세요. 미분위상수학을 공부하고 있는 대학원생입니다. 미분다양체 M의 한 점 p에서 정의된 접공간 TpM에서 전체 다양체로 확장되는 벡터장의 존재성을 증명하고 싶은데, 구체적으로 어떤 방법을 사용해야 할지 감이 잘 안 잡힙니다. partition of unity를 이용하면 된다고 들었는데, 자세한 증명 과정을 설명해주실 수 있으신가요?

Answer 1

이 방법은 다양체의 각 부분에 대해 지역적으로 정의된 벡터장을 합쳐서 전체 다양체에서 정의된 벡터장을 만드는 과정입니다

먼저 다양체 M의 열린 덮개를 준비합니다 각 열린 집합에 대해 벡터장을 정의할 수 있는데 이 벡터장은 그 집합 내에서만 유효해요

그 다음 이 열린 집합들에 대해 partition of unity를 구성합니다 이건 각 집합에 대한 가중치 함수로 이 함수들은 모든 점에서 합이 1이 되도록 정의됩니다

마지막으로 각 열린 집합에서 정의된 벡터장에 이 가중치 함수를 곱한 후 이들을 모두 더하면 전체 다양체에서 정의된 벡터장을 얻을 수 있어요 이 과정에서 벡터장의 연속성을 유지할 수 있습니다 이렇게 하면 원하는 벡터장을 얻을 수 있습니다.!