아니요, 당선 즉시 바로 근무를 시작하는 것은 아닙니다. 지방선거에서 뽑히는 자치단체장과 지방의회의원은 보통 전임자의 임기 만료 다음 날인 7월 1일부터 임기가 시작됩니다.
즉, 6월 3일 선거에서 당선되더라도 그날 바로 업무에 들어가는 게 아니라, 선거가 끝난 뒤 당선이 확정되고 행정상 인수 준비를 거쳐 7월 1일부터 공식적으로 근무한다고 보면 됩니다.
어떤 경우가 다를까
보궐선거처럼 결원이 생겨 치러지는 선거는 경우에 따라 당선이 확정된 때부터 바로 임기가 시작되는 예외가 있습니다. 다만 질문하신 6월 3일 전국동시지방선거는 일반적인 정기 지방선거라서, 해당 당선인들은 보통 7월 1일부터 시작합니다.