e^i파이제곱+1은 0 이거를 어떻게 븡명할까요?

Question

아름다운데 궁금해여....ㅠㅠㅠㅠㅠㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅠㅠㅜㅠㅠㅜㅠㅜㅜㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

Answer 1

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.

오일러 등식이라고 불리는 그 식, 정말 아름답죠. e의 i파이 제곱이 아니라 e의 i파이 승, 그러니까 지수에 i파이가 올라간 거예요. 이게 왜 마이너스 1이 되는지 핵심 아이디어만 풀어드릴게요. 엄밀한 증명은 대학 수학이 필요하지만 흐름은 충분히 이해하실 수 있어요.

출발점은 오일러 공식이에요. e의 ix승이 코사인 x 더하기 i 사인 x와 같다는 식인데, 이게 모든 것의 열쇠예요. 지수에 허수가 올라가면 거듭제곱이 회전운동으로 바뀌거든요. 이걸 증명하는 가장 깔끔한 방법은 테일러 급수라는 도구예요.

테일러 급수는 어떤 함수를 무한히 더하는 다항식으로 펼치는 방법이에요. e의 x승, 사인 x, 코사인 x 이 세 함수를 각각 급수로 펼쳐놓을 수 있는데, 신기한 일이 벌어져요. e의 x승을 펼친 식에서 x 자리에 ix를 넣으면, i가 곱해지면서 항들이 두 갈래로 갈라지거든요. i가 안 붙은 항들끼리 모으면 정확히 코사인 x의 급수가 되고, i가 붙은 항들끼리 모으면 사인 x의 급수가 돼요. 그래서 e의 ix승이 코사인 x 더하기 i 사인 x로 정리되는 거예요. 서로 따로 놀던 지수함수와 삼각함수가 허수를 통해 한 몸이라는 게 드러나는 순간이에요.

이제 이 공식의 x 자리에 파이를 넣어볼게요. e의 i파이승은 코사인 파이 더하기 i 사인 파이가 돼요. 여기서 코사인 파이는 마이너스 1이고 사인 파이는 0이에요. 그러니까 e의 i파이승은 마이너스 1 더하기 i 곱하기 0, 결국 마이너스 1이 되는 거예요. 여기에 1을 더하면 0이 되니까 e의 i파이승 더하기 1은 0이라는 등식이 완성되는 거랍니다.

기하학적으로 보면 더 직관적이에요. e의 ix승은 복소평면에서 반지름 1인 원 위의 점을 가리키고, x는 그 점이 돈 각도예요. x에 파이를 넣는다는 건 반 바퀴, 즉 180도를 돌린다는 뜻이에요. 시작점인 1에서 반 바퀴 돌면 정확히 반대편인 마이너스 1에 도착하잖아요. 그래서 e의 i파이승이 마이너스 1인 거예요. 거듭제곱이 회전이 된다는 게 이렇게 그림으로도 맞아떨어지는 거죠.

이 식이 아름답다고 불리는 이유는 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 수가 한 줄에 모이기 때문이에요. 자연로그의 밑 e, 허수 i, 원주율 파이, 곱셈의 기준인 1, 그리고 0이 군더더기 없이 딱 한 식에 담기거든요. 서로 전혀 다른 곳에서 태어난 숫자들이 이렇게 단순한 관계로 묶인다는 게, 많은 수학자들이 세상에서 가장 아름다운 식으로 꼽는 이유랍니다 :)