포아송 분포의 분산은 왜 평균과 같나요?

Question

운영관리에서 포아송 분포의 정규분포를 공부했는데요. Z값에 곱하는 건 표준편차인데 평균에 루트 씌워서 곱하더라구요. 왜 평균이 분산과 같나요?

Answer 1

안녕하세요. 박현민 경제전문가입니다.

포아송 분포에서 분산이 평균과 같은 이유는 이 분포의 고유한 특성에서 비롯됩니다. 포아송 분포는 일정 시간 또는 공간에서 발생하는 독립적인 사건의 수를 모델링하는 데 사용되며, 이 과정에서 사건 발생의 평균 횟수(λ)가 분포를 결정짓는 유일한 매개변수가 됩니다.

포아송 분포의 확률질량함수는 P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k! 로 표현되며, 여기서 λ는 평균 발생 횟수입니다. 이 함수의 수학적 특성을 분석하면, 평균(E[X])과 분산(Var[X])이 모두 λ와 같다는 것을 증명할 수 있습니다. 이는 포아송 과정의 독립성과 정상성(stationarity) 특성에서 기인합니다.

운영관리에서 포아송 분포를 정규분포로 근사할 때 Z값에 √λ를 곱하는 이유는 바로 이 때문입니다. 표준편차가 분산의 제곱근이고, 분산이 λ와 같으므로 표준편차는 √λ가 됩니다. 이러한 특성은 포아송 분포를 이용한 계산을 단순화하고, 특히 λ값이 큰 경우 정규분포로의 근사를 가능하게 하여 실제 문제 해결에 유용하게 활용됩니다.