공리는 증명이 필요없는 명제인데 완비성 공리는왜 다양한 방법으로 증명하는 건가요?
완비성 공리에 대하여 공부하고 있는데 데데킨트의 절단이나 코시 수열 등으로 증명을 할 수 있더라고요. 또, 이것이 증명이 아니라면 뭐라고 부르는 건가요?
안녕하세요.
완비성 공리(completeness axiom)는 실수 체계를 정의하는 중요한 원리로, 실수의 성질을 형성하는 근간이 되는 명제입니다. '공리'라는 용어는 증명이 필요하지 않은 기본적인 가정을 의미하지만, 완비성 공리에 대한 여러 가지 방법들, 예를 들어 데데킨트 절단(Dedekind cut)이나 코시 수열(Cauchy sequence)을 사용해 이를 다루는 것을 '증명'이라고 하지 않는 이유는, 이러한 과정이 사실 '실수의 완비성을 정립하는 방식' 또는 '등가적 정의'로 이해되기 때문입니다.
데데킨트 절단은 실수를 상하의 두 집합으로 나누는 방식으로, 실수의 완비성을 정의하는 하나의 접근법입니다. 이 절단은 실수가 끊임없이 이어져 있으면, 빈틈이 없다는 것을 보장하는 방식으로 완비성을 설명합니다.코시 수열은 수열이 충분히 수렴할 수 있는 조건을 만족하는지를 통해 실수의 완버성을 정의합니다. 실수 집합에서 모든 코시 수열이 수렴할 수 있다는 성질은 실수의 완비성을 설명하는 중요한 특성 중 하나로 간주됩니다.
완비성 공리에 대해 데데킨트 절단이나 코시 수열을 사용하는 것은 완비성의 '증명' 이라기보다는, 실수를 정의하거나 완비성의 특성을 등가적으로 '정립'하는 과정으로 이해됩니다. 즉, 이러한 방법들은 실수 체계가 어떻게 완비성을 갖게 되는지를 보여주기 위한 여러가지 등가적인 정의나 서술 방식입니다. 실수의 완비성을 공리로 받아들인다면, 이를 다른 방식으로 설명하는 과정은 공리의 증명이 아니라, 해당 공리가 다른 수학적 구성이나 정의와 어떻게 일치하는지를 보여주는 '등가성의 확립' 이라 할 수 있습니다.