제곱하여 2가 되는 수가 분수꼴로 나타낼 수 없음을 어떻게 증명하나요?
질문제목 그대로입니다 제곱하여 2가되는 수를 분수로 나타낼 수 없음을 어떻게 증명하나요? 증명하는 방법이 있다면 알려주세요.
안녕하세요. asura69입니다.
제곱하여 2가 되는 수가 분수꼴로 나타낼 수 없음을 증명하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 그 중 하나는 다음과 같습니다.
제곱하여 2가 되는 수를 분수꼴로 나타낸다고 가정합니다. 즉, a/b = √2 (a와 b는 서로소인 자연수)라고 합시다.
양변에 b를 곱하면 ab = b√2가 됩니다.
양변에 제곱을 하면 a2b2 = 2b^2가 됩니다.
이때 a^2와 b^2는 모두 짝수여야 합니다. 왜냐하면 홀수의 제곱은 홀수이고, 짝수의 제곱은 짝수이기 때문입니다.
따라서 a와 b도 모두 짝수여야 합니다. 즉, a = 2k, b = 2l (k와 l은 자연수)라고 할 수 있습니다.
그러면 a/b = √2는 (2k)/(2l) = √2로 간단히 할 수 있습니다.
양변에 l을 곱하면 k/l = √(l/4)가 됩니다.
이때 k/l도 분수꼴로 나타낼 수 있는 무리수인 √(l/4)와 같다고 가정했으므로, 위의 과정을 반복할 수 있습니다.
그러면 k와 l도 모두 짝수여야 하고, k/l도 간단히 할 수 있으며, 이런 식으로 계속해서 분자와 분모를 반으로 줄일 수 있습니다.
그런데 이렇게 하면 결국에는 분자나 분모 중 하나가 0이 되어야 합니다. 왜냐하면 자연수를 계속해서 반으로 나눌 수는 없기 때문입니다.
그러나 분자나 분모 중 하나가 0이 되면 a/b = √2라는 가정이 성립하지 않게 됩니다.
따라서 제곱하여 2가 되는 수를 분수꼴로 나타낼 수 없다는 것을 증명할 수 있습니다.
