르베그 적분이라는 것은 무엇인가요?
안녕하세요
자연과학 계열에서 '르베그 적분'이라고 하는 것이 무엇인가요?
르베그 적분의 의미와
활용 사례는 어떤 것들이 있나요?
안녕하세요. 임지애 인문·예술전문가입니다.
H.르베그가 정의한 적분개념.
적분은 직관적으로 넓이에 의하여 설명할 수 있으나, 최초로 수학적인 엄밀한 정의를 내린 수학자는 G.F.B.리만이었다(1857). 이에 대하여 르베그는 넓이에 관해서 깊은 고찰 끝에 ‘측도(測度)’라는 개념을 정의(1902)하여 그 정의에 따라 근대적인 적분이론을 전개하였다. 특히, 근대 해석학은 르베그적분을 기초로 하여 연구되고 있는데, 그 개념은 다음과 같다.
함수 f(x)를 구간 ［a,b］에서 정의된 유계인 함수라고 할 때, 먼저 f(x)≥0인 경우를 생각한다. ［a,b］에 대한 f(x)의 하한을 L, 상한을 M, 구간 ［L,M］을 분점 L=α0＜α1…＜αn=M으로 n개의 소구간으로 분할하여 이 분할을 라고 하자. 이 때, αi(x) αi+1되게 하는 x의 집합의 측도(르베그측도)를 m(αi,αi+1)로나타낼 때,
로 놓으면, max(αi-αi-1)→ 0이 되도록 분할 를 세분하면, → Ş, → 로 된다. 이 때 만일 = 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 르베그적분 가능이라고 하며, 그 공통값 S를 f(x)의 a에서 b까지의 르베그적분이라 하고,
로 나타낸다. 함수 f(x)가 f(x)≥0을 만족하지 않을 경우에도, 적당한 생각에 의하여 르베그적분을 정의할 수 있다.[네이버 지식백과] 르베그적분 [Lebesgue's integral] (두산백과 두피디아, 두산백과)
안녕하세요. 천지연 인문·예술전문가입니다.
르베그 적분 > 측도 공간에서의 정의된 적분으로 리만 적분이 함수의 정의역을 쪼개어 직사각형의 넓이를 이용하여 적분을 정의 하였다면 (구분구척법) 르베그 적분은 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의 합니다.
H.르베그가 정의한 적분 개념으로 넓이에 관해서 깊은 고찰 끝에 측도 라는 개념을 정의하여 그 정의에 따라 근대적으로 적분 이론을 전개 하였습니다.
안녕하세요. 이주연 인문·예술전문가입니다.
우선 르베그 적분에 관해 찾아보실 수 있는 참고자료부터 소개해드리겠습니다.
학부 2학년 해석학 교재 중 수준높은 교재들은 '측도'와 '르베그 적분'의 개념을 소개합니다. 아래 3권은 제가 아는 이러한 해석학 교재입니다.
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd edition) - Chapter 11 "The Lebesgue Theory"
(추상적인 측도 개념보다는 '르베그 측도'라고 하는 특정 예시를 구성하는 데에 초점이 맞춰져 있는 것 같고, 별로 추천되지 않습니다.)
김성기 외 2인, 해석개론 (제2개정판) - 제10장 "르벡적분"
(한글로 된 교재인 만큼 접근성이 좋고, 위의 Rudin보다도 체계적으로 추상적인 측도론에 접근합니다만, 꽤 내용이 압축적이고 난해합니다.)
Terence Tao, Analysis Ⅱ (3rd edition) - Chapter 7 "Lebesgue measure", Chapter 8 "Lebesgue integration"
(우리 시대의 천재가 쓴 책입니다. 읽어보지는 않았습니다만 꽤 친절하게 쓴 것 같은 목차 구성입니다.)
다음은 르베그 적분을 본격적으로 배우는 '실해석학' 과목의 도서들입니다.
Robert Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure
(꽤 친절한 책이지만, 입문하면서 개략적인 그림을 잡고 나면 잘 찾지 않게 되는 것 같습니다.)
Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd edition)
(매우 어려운 책입니다만, 적절한 사전지식이 있는 상태에서 1장을 읽으면 꽤 잘 와닿을 겁니다.)
Elias Stein and Rami Shakarchi, Real Analysis
(좋은 책입니다만, 시리즈물인 만큼 앞 책들을 읽어두는 편이 정신에 이롭습니다.)
Gerald Folland, Real Analysis (2nd edition)
(보통은 이 책을 스탠다드로 쓰는 것 같습니다. 서문에서 먼저 떼고 와야 하는 선수 지식들을 제시하기 때문에, 따로 공부하기도 편합니다.)
김성기 외 1인, 실해석
(인기는 별로 없는 책입니다. 위의 '해석개론' 10장 내용이 조금 더 풀어져서 나뉘어 들어가 있습니다. 역시나 한글 책인 만큼 꽤 접근성이 좋습니다. 자세히 보지는 않았지만 '해석개론'만큼 서술이 난해한 것 같지는 않습니다.)
결론부터 말씀드리자면, 저 식의 의미는 "측도 공간 (A, M, μ)에서 R로 가는 가측 함수 f를 적분하라"라는 뜻입니다. 간단한 예시로, 유리수 지시 함수(디리클레 함수), 즉 [0,1]에서 정의되어 x가 유리수이면 f(x) = 1이고 무리수이면 f(x) = 0인 함수를 생각합시다.
리만 적분을 배우셨다면 임의의 분할에 대해서 상합이 1이고 하합이 0이므로 리만 적분은 존재하지 않음을 알 수 있을 것입니다. 이외에도 리만 적분은 그 적분이 정의된 함수들의 공간에서 '수렴'의 개념을 적절히 다룰 수 없다는 문제점이 있습니다. 따라서 적분의 정의를 재구성하려는 시도가 등장합니다.
미적분학에서는 '넓이'의 개념을 적분으로 '정의'합니다. 즉, 적분은 '길이' 또는 '넓이'와 같은 개념의 본질에 닿아있다는 것이고, 따라서 어떤 '측정'의 개념과도 연결됩니다. 따라서 적분을 재구성하려면 우선 '측정'의 개념을 정립해야 한다는 발상이 '측도'의 시작입니다.
실수 전체의 집합 R의 부분집합 E가 주어지면 E의 '길이'를 주는 함수 μ가 있다면, 일반적으로 다음의 성질들을 기대할 것입니다.
1. E가 어떤 쌍마다 서로소인 (유한 또는 가산 개의) 집합들의 합집합이라면, μ(E)는 그 각각의 '블록'의 함숫값들의 합(급수)이다.
2. E를 평행이동하여 얻는 R의 부분집합 F에 대해, μ(E) = μ(F)이다.
3. μ([0, 1)) = 1이다.
(출처 : Folland)
안타깝게도, 이를 모두 만족하는 함수 μ가 없다는 것이 증명되었습니다. 이 조건들 중 몇 가지를 탈락시키는 시도도 만족스럽지 않았던지, 수학자들은 새로운 발상을 했습니다. 바로 μ의 정의역을 R의 멱집합보다 작게 하는 것입니다. 즉, '측정 가능한 집합'과 '측정 불가능한 집합'을 나눈 것입니다.
집합 A에 '측정'의 개념을 부여하는 함수 μ를 '측도'라고 부릅니다. 이때 보통 μ의 정의역을 별도로 제시합니다. 즉, '측정 가능한 집합'들을 모두 모아놓은 집합 M입니다. 이 M이 만족해야 할 조건은 일련의 공리(axiom)로 정형화되어 있고, '시그마 대수(σ-algebra)'라는 이름이 붙어 있습니다(가끔 공리들을 다소 약화시킨 'ring', 'σ-ring' 등을 사용하기도 합니다). 이때 순서쌍 (A, M)을 '가측 공간'이라고 부릅니다. 가측 집합 위에 측도까지 주어진 구조 (A, M, μ)을 '측도 공간'이라고 부릅니다.
특별한 시그마 대수로 '보렐 시그마 대수'가 있습니다. (X, τ)가 위상 공간일 때, τ를 포함하는 가장 작은 X의 시그마 대수를 가측 집합 구조로 갖는 가측 공간을 뜻하는데, 특별히 실수 집합 R과 복소수 집합 C의 보렐 시그마 대수가 많이 사용됩니다.
가측 공간 (X, M)과 (Y, N)이 주어져 있을 때, X에서 Y로 가는 함수 f가 '(M, N) - 가측 함수'라는 것은, n∈N이면 f^-1(n)∈M이라는 것입니다(연속함수와 정의가 비슷함을 눈여겨보시기 바랍니다). 특별히 (Y, N)이 R 또는 C와 그 보렐 시그마 대수로 구성된 가측 공간이라면, f를 단순히 'M - 가측 함수' 또는 단순히 '가측 함수'라고 말합니다.
(출처 : Folland)
물론, 가측 함수는 공역의 잴 수 있는 집합을 정의역의 잴 수 있는 집합에 대응시킵니다. 따라서 함수 f의 '적분'을 다음과 같이 생각해볼 수 있습니다:
"f의 함숫값과, 그 함숫값에 해당하는 정의역의 길이를 곱하여 모두 더한 것"
이를 엄밀히 서술한 것이 르베그 적분입니다. 르베그 적분은 단순한 함수에서부터 복잡한 함수로 정의를 확장해나갑니다. 그 '가장 단순한 함수'의 예시가 위의 디리클레 함수입니다.
디리클레 함수 f는 [0, 1]의 유리수에서 1로, 무리수에서 0으로 함숫값이 정해져 있습니다. 이때 함숫값이 1인 집합, 즉 [0, 1] 속 유리수 전체 집합은 가산 무한집합입니다. 측도의 요구 조건 중에는 '가산 개의 서로소 합집합을 급수에 대응시킨다'는 명제가 있고, 유리수 집합은 점들을 가산 개 모아놓은 것입니다. 점의 길이는 0이기 때문에, 유리수 집합의 '길이'는 0임을 알 수 있습니다. 따라서 f의 함숫값 1에 대응하는 집합의 측도가 0이 되고, 나머지 부분의 함숫값은 0이기 때문에, f의 르베그 적분은 0이 '되어야 합니다.' (아직 적분을 '정의'하지 않았음에 주의하세요!)
이런 식으로 특정한 잴 수 있는 집합에서는 함숫값 1을 갖고, 나머지 부분에서는 함숫값 0을 갖는 '지시 함수'들에 대해서, 그 르베그 적분은 함숫값 1에 해당하는 집합의 측도로 정의됩니다. 다음으로 지시 함수들의 '유한 일차결합'(선형대수학에서 많이 보셨을)에 대해서는 르베그 적분을 '각각 적분한 뒤 일차결합'한 것으로 정의합니다(이런 함수들을 '단순 함수'라고 부릅니다). 마지막으로 임의의 잴 수 있는 함수들에 대해서는 그 함수 '안쪽'에 있는 단순 함수들의 르베그 적분들 중 원래 함수에 가장 가깝도록 극한(엄밀히는 상한)을 취한 값으로 정의합니다.
안녕하세요. 김종호 인문·예술전문가입니다.
측도론에서 르베그 적분(Lebesgue積分, 영어: Lebesgue integral)은 일반적인 측도 공간 위에 정의될 수 있는 적분이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적이며 리만 적분이 정의되지 않아도 르베그 적분이 정의되는 함수들이 존재한다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.
-출처:위키백과