계약했으나 근로제공이나 임금지급이 없는 상태에서 실업급여를 받는 것이 부정수급이 될까요?

안녕하세요? 여러 학교에 출강하는 방과후 강사(프리랜서)입니다. 작년에 고용보험 가입 직장에서 근무하여, 근로복지공단 실업급여 신청 후 자격인정 받고 아직 수급 전인데요, 방과후 수업을 A,B 두군데 학교에서 3월 시작으로 계약서를 작성하였으나 코로나 사태로 등교 개학이 무기한 연기되어 실질적 실업상태입니다. 아직 계약서를 작성하지 않은 C학교는 등교개학 후 계약서를 작성할 예정이고, 등교개학을 하게 되면 근로복지공단에 C학교 계약으로써 재취업신고를 하고 실업급여를 그만 받을 계획입니다. 지금 어렵게 구한 단기(4일)알바도 소득신고 물론 다 할거구요. 제가 궁금한 것은, 이후에 나라에 A,B학교 소득이 잡혔을 때 실근로는 재취업신고 이후이니 근로소득과 실업급여를 동시에 받는 것은 아닌데 A,B학교의 계약이 3월부터 이미 되어있던 것이 문제될 수 있을까요? 제가 학교에 실제 수업 시작할 때 계약서를 그때 날짜로 다시 쓰는 것도 문의해봤는데 어려울 것 같아요. 저와 동일한 상황인 지인은 학교에서 다시 써준다는데.. 저는 고용보험료 180일 이상 정당히 납부했고, 계약서만 썼을 뿐이지 수업을 못해서 수입이 전무하고, 또 근로 (수업)를 시작하기 전 신고도 하려고 하는데 이후 부정수급 조사를 하면서 제 소득이 잡힌 곳의 계약일자를 확인해서 문제될 수가(부정수급이 될 수) 있을까요?