저도 중고로 받은 갤럭시로 똑같이 헤맨 적이 있어서 남깁니다. 먼저 안심하셔도 되는 게, 지금 상태는 고장이 아니라 정상 동작이에요.
초기화 화면에서 구글이 보는 건 인증에 성공했느냐가 아니라, 초기화 직전에 이 기기에 로그인돼 있던 바로 그 계정이냐입니다. 그래서 문자 인증이 오고 잘 통과되는 건 당연해요. 그건 계정 본인 확인일 뿐이고, 그다음에 기기에 남아 있는 등록 계정 기록과 대조하다 안 맞으면 아무 말 없이 멈춥니다. 이걸 공장초기화 보호, 흔히 프알피라고 부릅니다.
그러니 지금 필요한 건 인증을 더 잘 하는 게 아니라 그 기록을 지우는 겁니다. 이전에 쓰시던 분께 부탁해서 구글 계정 관리의 보안 항목에서 내 기기 목록에 들어가 그 폰을 삭제해 달라고 하세요. 그다음 한 번 더 초기화하면 대부분 그냥 넘어갑니다.
그 계정 비밀번호를 최근에 바꿨거나 계정 복구를 막 끝낸 상태라면, 구글이 보안상 며칠 동안 새 기기 로그인을 막아둡니다. 이때는 뭘 해도 안 되니 기다렸다 다시 하는 게 맞아요. 저는 이걸 모르고 초기화만 대여섯 번 반복했습니다.
네트워크도 한 번 보세요. 접속할 때 별도 로그인 페이지를 띄우는 공용 와이파이면 인증 서버 통신이 막히고, 날짜와 시간이 자동으로 안 맞춰져 있어도 같은 증상이 납니다.
서비스센터는 가능은 한데 조건이 붙습니다. 최초 구매 증빙과 신분증이 필요해서 그냥 중고로 받았다는 말만으로는 거절되는 경우가 많아요. 이전 소유자와 연락이 닿는다면 그쪽이 비교도 안 되게 빠릅니다.
끝으로 검색하면 나오는 우회 프로그램이나 유료 해제 서비스는 권하지 않습니다. 요즘 안드로이드는 그 경로를 계속 막고 있어서 잘 되지도 않고, 설치 파일에 악성코드가 섞여 오는 일도 있습니다.