맞아요. 동그라미 친 부분은
치환적분 공식을 쓴 것입니다.
문제의 적분은 이것입니다.
\int 12\sqrt{4x+9}\,dx
루트는 지수로 바꾸면.
12\sqrt{4x+9}
=12(4x+9)^{1/2}
그래서.
\int 12(4x+9)^{1/2}dx
여기서 중요한 공식은 이것입니다.
\int (ax+b)^n dx
=
\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
지금은
, 입니다.
그래서.
\int (4x+9)^{1/2}dx
=
\frac{(4x+9)^{3/2}}{4\cdot \frac32}
아래가 이렇게 됩니다.
4\cdot \frac32=6
그래서.
\int (4x+9)^{1/2}dx
=
\frac{1}{6}(4x+9)^{3/2}
앞에 12가 있으니.
12 \times \frac16(4x+9)^{3/2}
그래서 책에 나온
12\left[\frac16(4x+9)^{3/2}\right]
이 모양이 된 거예요.
이제 0부터 4까지 넣으면.
12 \times \frac16
\left[(4x+9)^{3/2}\right]_0^4
=2\left[(4x+9)^{3/2}\right]_0^4
x에 4 넣으면.
4\cdot4+9=25
25^{3/2}=(\sqrt{25})^3=5^3=125
x에 0 넣으면.
4\cdot0+9=9
9^{3/2}=(\sqrt9)^3=3^3=27
그래서.
2(125-27)=196
답은
196cm^3
이라고 나옵니다.
외우는 느낌으로 말하면
괄호 안을 미분하면 4가 나오니까
적분할 때는 4로 나눠준다.
이렇게 생각하면 훨씬 편합니다.