P가 65의 약수인걸 이 문제에서 어떻게 알죠?
4+65/p 가 제곱수인데, p가 왜 65의 약수인가요? p가 4인 경우도 제곱수가 되지 않나요? 저 과정에서 나온 정보로 어떻게 p가 65의 약수인걸 알수있는지 알려주세요안녕하세요 과감한 발발이 입니다
주어진 이차방정식은 \( x^2 - 4px - 65p = 0 \)입니다. 이 방정식의 두 근이 모두 유리수가 되려면, 판별식 \( \Delta \)이 완전제곱수가 되어야 해요.
이차방정식의 판별식 \( \Delta \)은 다음과 같습니다:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
여기서 \( a = 1 \), \( b = -4p \), \( c = -65p \)이므로,
\[
\Delta = (-4p)^2 - 4(1)(-65p) = 16p^2 + 260p
\]
이 판별식이 완전제곱수가 되려면, \( 16p^2 + 260p \)가 어떤 수의 제곱이 되어야 합니다.
이제 \( p \)가 소수일 때, \( 16p^2 + 260p \)가 완전제곱수가 되는 경우를 찾아봅시다.
- \( p = 2 \)일 때, \( 16(2)^2 + 260(2) = 64 + 520 = 584 \) (완전제곱수가 아님)
- \( p = 3 \)일 때, \( 16(3)^2 + 260(3) = 144 + 780 = 924 \) (완전제곱수가 아님)
- \( p = 5 \)일 때, \( 16(5)^2 + 260(5) = 400 + 1300 = 1700 \) (완전제곱수가 아님)
- \( p = 13 \)일 때, \( 16(13)^2 + 260(13) = 2704 + 3380 = 6084 = 78^2 \) (완전제곱수!)
따라서, \( p = 13 \)일 때 이차방정식의 두 근이 유리수가 됩니다.
**정답: \( p = 13 \)**
먼저, 이차방정식의 두 근이 모두 유리수이기 위해서는 판별식이 완전제곱수가 되어야 한다고 했죠. 그런데, 판별식뿐만 아니라 이차방정식의 근이 유리수라는 것은 방정식의 계수(숫자들)도 중요한 역할을 해요.
이 방정식의 형태는 \( x^2 - 4px - 65p = 0 \)입니다. 여기서 두 근을 구하는 공식은 다음과 같습니다:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
그런데, 근이 유리수가 되려면 판별식뿐만 아니라, **상수항**이 중요합니다. 이 방정식에서 상수항은 \( -65p \)입니다. 상수항은 근들이 만들어질 때 중요한 역할을 하기 때문에, 근이 유리수가 되려면 이 상수항이 쉽게 나누어떨어져야 합니다.
예를 들어, \( 65p \)라는 값이 어떤 수로 나누어떨어질 수 있으려면 \( p \)가 65의 약수여야 합니다. 왜냐하면, \( p \)가 65와 관련 없는 숫자라면, 나누는 과정에서 복잡한 소수나 무리수가 나오기 쉽기 때문입니다.
그래서 \( p \)는 **65의 약수**여야 하고, \( p \)는 소수여야 하니까 65의 소인수 중 하나인 \( 5 \)와 \( 13 \)을 선택해야 합니다.
따라서, \( p = 5 \)와 \( p = 13 \) 중에서, 판별식이 완전제곱수가 되는 경우를 찾아야 하는 거죠. 그 결과 \( p = 13 \)이 유일하게 두 근이 유리수가 되는 조건을 만족하게 됩니다.
**결론: p가 65의 약수인 이유는 두 근이 유리수가 되기 위해서 상수항이 적절하게 나누어져야 하기 때문이에요.**