3의 배수에 관한 수학적 공식 질문이에요.
어떤 자연수(자릿수가 큼)가 3의 배수인지 확인하려면
각 자리의 숫자를 더해서 3으로 나누어 떨어지면 3의 배수라고 배웠는데요.
왜 이렇게 되는거죠? 증명이 있나요?
3의 배수 공식 말고 다른 숫자도 있나요?
2개의 답변이 있어요!안녕하세요. 박준희 과학전문가입니다.
3의배수라고 하면 자연수에 3을 곱한수치인데요.
그런수치를 3으로 나누면 당연히 나누어 떨어지는거죠. 과학논리라고 하기보다는 수학적인 개념이죠.
감사합니다.
안녕하세요. 정준민 과학전문가입니다.
자연수가 3의 배수인지 확인하는 방법에는 다양한 방법이 있습니다. 그 중에서도 자릿수의 합을 이용한 방법은 3의 배수 여부를 빠르고 쉽게 확인하는 방법 중 하나입니다.
어떤 자연수 n을 생각해봅시다. 이 자연수 n을 각 자릿수로 나누어 표현하면 다음과 같이 됩니다.
n = a_k * 10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0
여기서 a_k, a_(k-1), ..., a_2, a_1, a_0은 자연수 n의 각 자릿수를 나타내며, k는 자릿수의 개수입니다.
이제 각 자릿수를 더해보겠습니다.
S = a_k + a_(k-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0
자릿수의 합 S는 원래 수 n의 각 자릿수를 더한 값입니다. 이제 n을 3으로 나눠보면 다음과 같습니다.
n = a_k * 10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0 = (a_k + a_(k-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0) + (a_k * (10^k - 1) + a_(k-1) * (10^(k-1) - 1) + ... + a_2 * (10^2 - 1) + a_1 * (10^1 - 1) + a_0 * (10^0 - 1))
여기서 첫 번째 항은 자릿수의 합 S이고, 두 번째 항은 10의 거듭제곱 수들의 합입니다. 두 번째 항은 9로 나누어 떨어지므로, n은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
n = S + 9m (여기서 m은 어떤 자연수)
이제 n을 3으로 나누어 보면 다음과 같습니다.
n = S + 9m = 3(S/3) + 9m = 3(S/3 + 3m)
여기서 (S/3 + 3m)는 어떤 자연수입니다. 따라서 n은 3의 배수입니다.
즉, 어떤 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 값이 3의 배수라면, 그 자연수 자체도 3의 배수라는 것을 증명할 수 있습니다. 이것이 위에서 설명한 원리의 수학적 근거입니다.
또한, 다른 수에 대해서도 유사한 방식으로 나머지 연산을 사용하여 해당 수가 특정 수의 배수인지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 자연수 n이 5의 배수인지 확인하려면 n을 5로 나누어 나머지가 0인지 확인하면 됩니다.
