질문 내용만 보면 공유기 문제일 가능성이 꽤 있어 보입니다. 저도 예전에 와이파이는 정상적으로 연결되는데 인터넷 연결 안 됨이라고 계속 떠서 휴대폰 설정만 계속 만져봤던 적이 있습니다. 그런데 결국 공유기를 새것으로 교체하고 나니 바로 정상적으로 연결됐습니다.
물론 먼저 공유기 전원을 1분 정도 껐다가 다시 켜보고 휴대폰도 재부팅해 보는 것이 좋습니다. 다른 휴대폰이나 노트북도 같은 증상인지 확인해 보면 원인 파악에도 도움이 됩니다.
만약 다른 기기에서도 모두 인터넷 연결이 안 된다면 공유기 이상이거나 인터넷 회선 문제일 가능성이 높습니다. 오래 사용한 공유기라면 교체를 고려해 보시는 것도 좋은 방법입니다.
반대로 다른 기기에서는 정상인데 해당 휴대폰만 안 된다면 휴대폰의 네트워크 설정을 초기화해 보는 것도 도움이 될 수 있습니다.