해고예고 제도는 이런경우도 해당사항되는건가요 ?

회사에서 해고를 통보받고

다른 일자리 구할때까지 한달정도 시간을 달라고 했습니다.

회사에서는 알겠다고 그러라고 했습니다.

약 한달지날때쯤 일자리를 구했고

회사에게 퇴사하겠다고 말했습니다

그랬더니 회사에선 인수인계도 하지않고 처음에 말한 한달을 다 채우지 않고

그만두는것은 무단퇴사라며 저에게 손해배상청구를 하겠다고 했습니다.

다음주부터 바로 다른곳으로 출근하게 된건 맞지만

한달을 무조건 다 채워야한다는 조건도 없었고,

인수인계는 약한달간 일하면서 끝냈다고 생각하거든요.

회사에서는 저에게 먼저 말도 하지않고 인터넷에 구인공고를 올리고나서

그 다음에 해고 통보를 했습니다.

해고예고기간중에 다른 일자리를 구하면 바로 퇴사 할 수 있는거 아닌가요?