선형변환T의행렬이 다음과 같을 때 고유값과 고유벡터는?
선형변환T의 행렬이 다음과 같을때
A=[1 1 ] 고유값과 고유벡터를 구하시오
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이 문제에대한 풀이를 알려주세요~!!
감사합니다
안녕하세요! 손성민 과학전문가입니다.
선형변환T의 행렬 A=[1 1; 1 0]의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해 알려드리겠습니다.
고유값과 고유벡터는 선형변환을 통해 변환된 벡터가 원래의 벡터와 같은 방향을 유지하도록 하는 값과 벡터를 말합니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
A*v = λ*v
여기서 A는 주어진 행렬 v는 고유벡터 λ는 고유값을 나타냅니다.
우선 고유값을 구하기 위해서는 다음과 같은 방정식을 풀어야 합니다.
det(A-λ*I) = 0
여기서 I는 단위행렬을 나타내며 det는 행렬의 행렬식을 나타냅니다. 이 방정식을 풀면 λ의 값이 나오게 됩니다.
따라서 우리가 주어진 행렬 A에서 λ를 구하기 위해서는 다음과 같은 방정식을 풀어야 합니다.
det(A-λ*I) = det([1-λ 1; 1 0-λ]) = (1-λ)(-λ)-1 = λ^2-λ-1 = 0
이 방정식을 풀면 λ=φ 또는 λ=-1/φ가 나오게 됩니다. 여기서 φ는 황금비로 알려진 값으로 약 1.618입니다.
다음으로 고유벡터를 구하기 위해서는 다음과 같은 방정식을 풀어야 합니다.
(A-λ*I)*v = 0
여기서 v는 고유벡터를 나타내며 0은 영벡터를 나타냅니다. 따라서 우리가 구한 λ값을 대입하여 방정식을 풀면 고유벡터를 구할 수 있습니다.
λ=φ일 때 (A-φ*I)*v = [1-φ 1; 1 0-φ]*v = 0 이므로 v=[1; φ]가 됩니다.
λ=-1/φ일 때 (A-(-1/φ)*I)*v = [1+1/φ 1; 1 0+1/φ]*v = 0 이므로 v=[1; -1/φ]가 됩니다.
따라서 주어진 행렬 A의 고유값은 φ와 -1/φ이며 각각의 고유벡터는 [1; φ]와 [1; -1/φ]입니다.
이상으로 선형변환T의 행렬 A=[1 1; 1 0]의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해 알려드렸습니다. 감사합니다.
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