리만 계량이 주어진 미분다양체에서 측지선의 기하학적 의미가 궁금합니다.

Question

미분기하학 수업을 듣고 있는 학부생입니다. 측지선이 국소적으로는 두 점 사이의 최단경로라는 것은 이해했는데, 전체 다양체에서 이 성질이 항상 성립하는지 의문이 들었습니다. 혹시 이에 대한 반례가 있다면 간단한 예시와 함께 설명해주실 수 있을까요?

Answer 1

국소적으로는 두 점 사이의 최단 경로로 이해되지만 전체 다양체에서는 항상 그렇지 않을 수 있습니다

예를 들어 구면 위의 두 점을 생각해보세요

구면에서 두 점 사이의 최단 경로는 대원으로 이 경로는 두 점이 지구의 표면에 있을때 가장 짧은 경로입니다

하지만 전체 구면을 고려하면 대원의 길이는 구의 둘레와 관련이 있어요

따라서 구면에서는 최단 경로가 항상 직선이 아닐 수 있습니다

이런 경우가 반례로 제시될 수 있습니다.!