왜 유리함수는 점근선에 접할 수 없나요?

Question

x=p y=q를 점근선이라 하고 유리함수 식을 쓰면

K/(x-p)+q라서 점근선 x=p에 접하면 x=p가 대입되는 경우 함수가 0이 되니까 안된다는 건 이해했는데 왜 y=q에는 접하면 안되는 건가요?

Answer 1

아주 간단한 유리함수 하나를 예로 들어서 설명해보자면

y=1/x

이 유리함수는 x=0, y=0을 점근선으로 가지고 있습니다.

이때 우리가 잘 생각해보아야 할 건, 분모에 미지수가 포함된 분수식이 존재할때, 분모가 0인 분수값은 존재할 수가 없다는 것입니다.

즉 저 위의 식으로 설명하면, 1/x에서 x가 무한히 0으로 다가갈수록 y값은 무한히 커지지만 절대로 x=0인 지점에 닿을 수가 없습니다.

그리고 작성자분이 질문드린 y=0에 닿을 수 없는 이유 또한 동일합니다.

위의 식 y=1/x를 우리는 xy=1, 즉 x=1/y로 표현할 수 있습니다. 

이렇게 된다면 방금과 동일한 방식이 적용됩니다. 분모 y는 무한히 0으로 다가갈 순 있어도 절대로 0이 되지는 못합니다.

Answer 2

유리함수가 점근선에 접할 수 없는 이유를 쉽게 설명하자면 점근선은 함수가 계속 가까워지기만 할 뿐 절대 닿지 않는 선

이에요. 예를 들어, 어떤 값에 아주 가까이 다가가지만 그 값을 완전히 가지는 일은 없다는 뜻이죠.

유리함수는 특정한 값 근처에서 무한히 커지거나 작아지는 특성이 있어요. 예를 들어, 가 될 때 함수 값이 엄청 커지거나 작아져서 폭발해 버린다고 생각하면 돼요. 그래서 같은 값이 점근선이 되고, 함수가 그 값에 절대 닿을 수 없는 거예요.

또 다른 점근선은 가까워지기만 할 뿐, 끝까지 그 값에 딱 도달하는 일은 없어요.

결론적으로, 점근선은 “닿지 않는 경계선” 같은 개념이에요. 유리함수는 그 선에 아주 가깝게 가지만, 절대로 딱 맞닿을 수 없는 거죠.