안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.
ε⁕η(x)를 도입한 것은 일종의 미분을 위한 트릭이나 수학적인 엄밀성 때문일 것이라고 생각합니다. 단순히(편법으로) f(x)를 그대로 두고, δF를 써내려가도 같은 결과를 얻을 수 있죠.
본론으로 돌아와 f(x)는 F(f(x))범함수의 극값을 갖게하는 함수입니다. 하지만 f(x)에 임의의 작은 변화 f(x)-> f(x)+ε⁕η(x) 를 가하면 더 이상 F( f(x)+ε⁕η(x) )는 극값을 갖지 않을 수 있습니다.
여기서, ε⁕η(x)를 도입하였는데 ε의 크기에 따라 η(x)의 기여도가 달라지며 특히 ε=0일 때 f(x)가 됩니다.
즉, F( f(x)+ε⁕η(x) )는 ε에 따라 변화하는 함수가 되고, F범함수의 극값은 ε=0일 때 임을 알 수 있습니다.
이제 dx라는 적분 내에서 x와 상관없는 ε에 대한 변화를 편하게 고려할 수 있으며, 미분도 편하게 할 수 있습니다. δF( f(x)+ε⁕η(x) )를 계산하고 ε=0일 때 극값을 가짐을 이용하게되면 오일러-라그랑주 방정식을 얻을 수 있는 것이죠.
정리하면, f(x)+ε⁕η(x)를 도입하여 F(f(x)+ε⁕η(x),f'(x)+ε⁕η'(x);ε)의 함수를 만들어 미분이 가능하게끔 설정하였습니다.(여기서 f'이나 η'은 d/dx 미분)
ε⁕η(x)를 도입하지 않으면 F(f(x),f'(x);x)의 형태이며, dx에 대한 적분에서 미분을 고려할 때 수학적으로 까다로울듯 합니다. 사실 변분법을 통해 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 과정에서 ε⁕η(x)를 도입하지 않고 (편법으로) f(x)그대로 두고 x에 대한 변화를 생각하여 적어나가도 오일러-라그랑주 방정식을 얻게됩니다.