미분적분학 더 풀어줄 수 있나요 더 필요해요

Question

xyz = cos(x+y+z)일때 ∂z/∂x, ∂z/∂y를 각각 알려주세요. 풀이 과정과 함께 어떻게 유도되는지도 궁금해요.

Answer 1

말씀하신 주어진 함수 \( xyz = \cos(x+y+z) \)를 미분하기 위해 편미분을 이용해서 \( \frac{\partial z}{\partial x} \)와 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)를 구할께요.

주어진 함수를 미분하기 전에 몇 가지 준비 작업을 해야되는데요.

\[ \text{함수} : xyz = \cos(x+y+z) \]

\[ \text{양변을 } x \text{로 편미분} : yz + xy\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(x+y+z) \]

\[ \text{양변을 } y \text{로 편미분} : xz + xy\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(x+y+z) \]

이제 두 식에서 \( \frac{\partial z}{\partial x} \)와 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)를 구하면 돼요.

1. \( \frac{\partial z}{\partial x} \)를 구하기 위해 첫 번째 식을 \( \frac{\partial z}{\partial x} \)에 대해 풀어쓰면:

\[ xy\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(x+y+z) - yz \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\sin(x+y+z)}{xy} - \frac{z}{x} \]

2. \( \frac{\partial z}{\partial y} \)를 구하기 위해 두 번째 식을 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)에 대해 풀어쓰면:

\[ xy\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(x+y+z) - xz \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\sin(x+y+z)}{xy} - \frac{z}{y} \]

따라서, 주어진 함수 \( xyz = \cos(x+y+z) \)로부터 \( \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\sin(x+y+z)}{xy} - \frac{z}{x} \) 및 \( \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\sin(x+y+z)}{xy} - \frac{z}{y} \)를 얻을 수 있어요.