함수 f(x)가 양의 무한대로 발산하는 경우에 대하여 질문드립니다

Question

함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 한없이 커지면 함수 f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 하는데

lim x -> 0 (1/(x ^ 2) - 7)

위와 같은 경우에 분모의 x에 0을 대입하면 -7이 되어서 수렴하지 않나요? 왜 발산이라고 하는건지 이해가 잘 안가네요 ㅠㅠ

Answer 1

안녕하세요.

함수의 극한을 이해할 때 중요한 점은 극한값을 계산할 때 해당 함수 전체의 행동을 고려해야 한다는 것입니다. 여기서 주어진 함수는 f(x) = 1/(x²) - 7 입니다. 이 경우, x가 0에 접근하면서 함수가 어떻게 변하는지를 설명드리면 이해가 쉬울 것 같습니다.
함수 f(x) = 1/(x²) - 7 에서 x가 0에 가까워질 때, x²는 매우 작은 양수가 됩니다. 따라서 1/(x²)은 매우 큰 값으로 증가하게 됩니다. 이는 x의 값이 0에 가까워질수록 1/(x²)의 값은 양의 무한대로 발산합니다.
이제, 이 발산하는 항에서 7을 빼보면, 1/(x²)가 무한대로 커지므로, -7을 빼는 것이 큰 값에 별다른 영향을 주지 않습니다. 바꿔 이야기하면, -7은 무한대 값에 미미한 영향을 주기 때문에 전체 함수 f(x) = 1/(x²) - 7는 여전히 양의 무한대로 발산합니다.
극한을 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다 :

lim (x → 0) (1/(x²) - 7) = ∞

이는 x가 0에 가까워질 때 f(x)의 값이 양의 무한대로 발산한다는 것을 의미합니다. 따라서, 이 함수는 0에서 수렴하지 않고 발산합니다.
분모에 직접 0을 대입하는 것은 올바른 방법이 아니며, 대신 x가 0에 접근할 때 함수 전체가 어떻게 변하는지를 고려해야 합니다. 이런 이유로, f(x)는 0에 접근할 때 양의 무한대로 발산합니다.