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수학 문제 풀이를 해 주세요
수학문제 쉽고 자세히 풀어 주세요
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사진에 있는 5개의 수학 문제에 대한 풀이입니다. 이미지 해상도로 인해 일부 숫자가 흐리게 보이는 부분(3번 문제의 요금식 등)은 문맥과 수학적으로 가장 자연스럽게 떨어지는 값으로 추정하여 풀이했습니다.
### **1. 교과서 66쪽 (이차함수와 최대·최소)**
**(1) $f(x)$의 최댓값을 구하고 그 과정을 서술하시오.**
* **총수입:** 상품 A의 판매 수량이 x개일 때, 1개당 가격이 $(100 - 0.1x)$만 원이므로 총수입은 x(100 - 0.1x) = -0.1x^2 + 100x만 원입니다.
* **총비용:** 유지비 5000만 원과 1개당 추가 비용 40만 원이 발생하므로 총비용은 5000 + 40x만 원입니다.
* **총이익 f(x):** 총수입에서 총비용을 뺀 값이므로 다음과 같습니다.
이차함수를 완전제곱꼴로 변형하면,
* **결론:** 판매 수량 x = 300일 때, 총이익 $f(x)$의 최댓값은 **4000만 원**입니다.
**(2) 설비 투자 비용을 a만 원으로 줄여서 총이익의 최댓값이 5000만 원이 되게 할 때, a의 값을 구하시오.**
* 유지 비용이 5000만 원에서 a만 원으로 변경되면, 새로운 총이익 함수 $g(x)$는 다음과 같습니다.
* 최댓값이 9000 - a가 되며, 이 값이 5000만 원이 되어야 하므로:
* **결론:** a의 값은 **4000**입니다.
### **2. 직육면체 모양의 간이 샤워실**
간이 샤워실의 **가로 길이를 x**, **높이를 x** (문제에서 가로와 높이가 같다고 주어짐), **세로 길이를 y**라고 하겠습니다. (단위: m)
* **모서리의 길이 (60m):** 직육면체의 12개 모서리는 가로 4개, 세로 4개, 높이 4개로 이루어져 있습니다.
* **옆의 네 면의 넓이 (66m²):** 옆면은 앞뒤 2면(가로 \times 높이)과 양옆 2면(세로 \times 높이)입니다.
* **연립방정식 풀이:** y = 15 - 2x를 넓이 식에 대입합니다.
* 근의 공식을 사용하여 x를 구하면 (x < 7.5 이어야 y > 0이 성립합니다):
이때 세로 y는:
* **결론:** 가로의 길이는 **\frac{15 - \sqrt{93}}{2} m**, 세로의 길이는 **\sqrt{93} m** 입니다.
### **3. 주차 요금 부등식**
각 주차장의 요금식을 이미지 형태와 수학적 맥락에 따라 다음과 같이 추정하여 풉니다.
* **A주차장:** x^2 + 10x
* **B주차장:** -x^2 + 110x
* **C주차장:** x^2 + 40x
A주차장의 요금이 B, C보다 모두 저렴해야 하므로 두 부등식을 동시에 만족해야 합니다.
1. **A < B:**
따라서 0 < x < 50
2. **A < C:**
* **결론:** 두 조건을 모두 만족하는 주차 시간 x의 범위는 **0 < x < 50** 입니다.
### **4. 비밀번호 경우의 수**
조건: 1~9 중 서로 다른 4개 사용, {1, 5, 8} 중 정확히 2개 포함, 4개 숫자의 합은 짝수.
* **1단계: {1, 5, 8} 중 2개 선택하기**
합이 짝수가 되려면 홀수와 짝수의 구성이 중요합니다. (1, 5는 홀수 / 8은 짝수)
* **Case A: {1, 5} 선택 (합: 짝수)**
* 남은 숫자 중 2개를 골라 합이 짝수가 되어야 하므로 (짝수, 짝수) 또는 (홀수, 홀수)를 골라야 합니다.
* 선택 가능 그룹 (8 제외): 짝수 {2, 4, 6}, 홀수 {3, 7, 9}
* 경우의 수: _3C_2 + _3C_2 = 3 + 3 = 6가지
* **Case B: {1, 8} 선택 (합: 홀수)**
* 합이 짝수가 되려면 남은 2개의 합이 홀수, 즉 (짝수, 홀수)를 골라야 합니다.
* 선택 가능 그룹 (5 제외): 짝수 {2, 4, 6}, 홀수 {3, 7, 9}
* 경우의 수: _3C_1 \times _3C_1 = 3 \times 3 = 9가지
* **Case C: {5, 8} 선택 (합: 홀수)**
* Case B와 동일한 논리로 경우의 수는 9가지입니다.
* **2단계: 4개의 숫자 나열하기**
조건에 맞는 4개의 숫자를 고르는 총 방법의 수는 6 + 9 + 9 = 24가지입니다.
선택된 4개의 숫자를 배열하여 비밀번호를 만드는 경우의 수는 4! = 24입니다.
* **결론:** 총 비밀번호의 경우의 수는 $24 \times 24 = $ **576가지**입니다.
### **5. 토너먼트와 리그전**
**(1) 축구 대회 총 경기 수**
* **조별 리그전:** 8개 팀을 2개 조(각 4팀)로 나누어 리그전을 치릅니다.
1개 조의 경기 수 = _4C_2 = 6경기. 총 2개 조이므로 6 \times 2 = 12경기입니다.
* **토너먼트:** 각 조 1, 2위 총 4팀이 토너먼트를 진행합니다.
준결승(2경기) + 결승전(1경기) + 3·4위전(1경기) = 4경기입니다.
* **결론:** 총 경기 수는 12 + 4 = **16경기**입니다.
**(2) 프로 농구 정규 리그 총 경기 수**
* 10개 팀이 서로 한 번씩 경기할 때의 경우의 수는 _{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45경기입니다.
* 모든 팀이 서로 6번씩 경기를 진행하므로, 총 경기 수는 45 \times 6 = 270이 됩니다.
* **결론:** 정규 리그 한 시즌의 총 경기 수는 **270경기**입니다.