오일러가 소수가 무한하다는것을 증명한 방법이 궁금합니다

Question

중학교 3학년인데 최근 소수에 빠져서 소수에 관해 찾아보던도중 소수가 무한함을 증명하는 방법을 보았습니다. 유클리드가 증명한것은 이해가 가는데 오일러가 증명한 내용은 제가 아는 수학으로는 어렵더라구요.. 엄청 쉽게는 말고 조금 쉽게 풀어서 설명해주실수있나요??

Answer 1

안녕하세요.

수학의 깊은 이해를 요구하는 답변을 해드려야 하지만, 중학교 3학년인 질문자님이 이해하기 쉽도록 가능한 쉽게 설명을 해보겠습니다. 노력은 해보겠지만... 쉽게 설명할 수 있을진 모르겠네요.^^ 마지막 문단에 굵은글씨로 답변한 부분을 위주로 봐주세요.
또한, 수학적인 내용도 답변 드리겠습니다. 제 답변에 추가 답변이 필요하다면 댓글로 추가 질문해주셔도 됩니다.

소수가 무한하다는 것을 오일러가 증명하는 방법은 유클리드의 직접적인 접근과 달리, 분석적인 접근을 활용합니다. 이 방법은 수학적 분석과 무한급수의 성질을 이용하여 소수의 무한성을 증명합니다.
오일러의 증명은 자연로그의 기초를 형성하는 조화급수와 소수의 분포에 관한 근본적인 이해에서 출발합니다. 오일러는 모든 자연수 n을 소수들의 거듭제곱으로 유일하게 분해할 수 있다는 기본적인 수론의 원리, 즉 소인수분해의 유일성을 사용했습니다. 그는 소수의 역수에 대한 무한급수의 합이 발산(divergence)한다는 사실을 통해 소수가 무한히 많다는 것을 증명합니다.
오일러는 다음과 같이 무한 급수를 고려합니다 :

Σ (n=1 to ∞) 1/n

이 급수는 발산합니다. 그 후, 오일러는 모든 자연수를 소수의 거듭제곱으로 표현할 수 있기 때문에, 이 급수를 다음과 같이 재구성 합니다 :

Σ (n=1 to ∞) 1/n = Π (p prime) (1 + 1/p + 1/p² + ...)

여기서 p는 소수를 나타냅니다. 이 등식은 각각의 소수 p에 대한 기하급수의 곱으로 표현되며, 각 기하급수는 다음과 같이 단순화할 수 있습니다 :

1/(1 - 1/p)

따라서 모든 자연수에 대한 역수의 합은 소수의 역수에 대한 다음과 같은 무한곱으로 표현됩니다 :

Π (p prime) 1/(1 - 1/p)

오일러는 이 무한곱이 발산한다는 사실을 이용하여 소수가 유한개일 경우 이 무한곱이 수렴할 것이라는 점과 모순을 드러냅니다. 즉, 이 무한곱이 발산한다는 것은 소수가 무한하게 존재해야만 합리적으로 설명될 수 있다는 결론에 도달합니다. 이러한 분석적 접근은 소수에 대한 깊은 이해를 요구하며 수학적 사고의 폭을 넓히는데 기여합니다.
이 모든 과정을 조금 더 쉽게 말하자면, 오일러는 자연수의 역수를 모두 더하는 것이 끝이 없이 커진다는 사실(발산)을 이용했습니다. 그리고 그 급수를 소수만을 사용해서 다르게 표현할 수 있음을 보였습니다. 또, 그 표현이 역시 끝없이 커진다면(발산), 이는 소수가 무한히 많이 있어야만 가능하다는 결론에 도달합니다. 이런 방식으로 오일러는 소수가 무한하다는 것을 증명했습니다.