안녕하세요. 서종현 전문가입니다.
두수의 합이 일정할때, 두수의 곱이 최소가 되려면 두수의 차가 최소이어야 한다는 주장에 대해 증명하는 과정을 쉽게 설명해드리겠습니다.
두수를 각각 x와 y라고, 하고, 이들의 합은 고정되어 있다고 합시다 :
x + y =S(S는 상수)
이때, 곱은
P=xy입니다.
우선, y를 S-x로 바꿔서 곱을 식으로 나타내면
P=x(S-x) = Sx-x^2입니다.
P를 x에 대한 함수로 보면
P(x) = -x^2+Sx로 이차함수 형태이고, 그래프는 아래로 볼록한 포물선입니다. 최대값을 갖습니다. 하지만 여기서는 최소값을 찾으려 하니 범위를 생각해야 합니다.
두수 x,y가 자연수여야 한다면 , 가능한 x값을 주변의 정수로 제한합니다. 두수의 차가 작다는 것은 x와 y가 서로 가까울때를 의미합니다.(예:x=S/2 근처)
이때, 구간 경계에서의 값 즉, 둘 사이가 멀때(한 값이 매우 작고 다른 값이 크면)곱이 커지고, x와 y가 가까울수록 곱이 작아지는 것을 간접적으로 확인할수있습니다.