공 2개를 동일한 높이에서 하나는 그냥 떨어트리고 다른 하나는 마찰이 없는 미끄럼틀로 굴릴때, 이 2개의 공 중 어느 것이 더 빨리 떨어지나요?

Question

안녕하세요

공 2개를 동일한 높이에서 하나는 그냥 떨어트리고 다른 하나는 마찰이 없는 미끄럼틀로 굴릴때, 이 2개의 공 중 어느 것이 더 빨리 떨어지나요??

Answer 1

안녕하세요.

공을 동일한 높이에서 자유 낙하시키는 경우와 마찰이 없는 미끄럼틀을 통해 내려보내는 경우, 두 방식에서 공이 땅에 도달하는 시간은 중력의 작용 방식과 관련된 물리적 법칙들에 의해 결정됩니다. 자유 낙하 시, 공은 중력 가속도(gravitational acceleration) g ≈ 9.81 m/s²의 영향만을 받아, 속도가 시간에 따라 선형적으로 증가합니다. 반면, 미끄럼틀을 이용할 경우 공은 중력의 수직 성분과 경사면에 다른 수평 성분의 복합적 작용을 받으며, 이동 경로가 더 길고 복잡합니다.
이 두 상황의 비교를 수학적으로 분석하기 위해, 자유 낙하의 경우 운동 방정식은 다음과 같이 주어집니다 :

s = ½ gt²

여기서 s는 낙하 거리이고 t는 시간입니다. 주어진 높이 h에서 시간 t는 t = √(2h/g)로 계산될 수 있습니다.
미끄럼틀을 이용할 경우, 공은 경사면을 따라 가속되며, 이동 경로에 따른 총 거리가 증가합니다. 미끄럼틀의 경사각이 θ라고 가정할 때, 중력 가속도의 수평 성분은 g sin θ가 됩니다. 따라서 이동 시간 t는 경사면의 길이 L을 사용하여 t = √(2L/(g sin θ))로 표현됩니다. 경사면의 길이는 높이 h와 경사각에 따라 L = h/sin θ로 주어질 수 있으므로, 최종 시간은 다음과 같이 표현될 수 있습니다 :

t = √(2h/(g sin² θ))

이 표현에서 sin θ는 1보다 작거나 같으므로, sin² θ의 분모가 1보다 작아짐에 따라 t는 자유 낙하 시간보다 항상 길어집니다.
결론적으로, 마찰이 없는 미끄럼틀을 통해 내려오는 공은 자유 낙하하는 공보다 늦게 땅에 도달합니다. 이는 미끄럼틀의 경로가 더 길고, 중력 가속도의 효과적인 성분이 감소하기 때문입니다. 이러한 분석은 중력의 기본 법칙과 경사면에서의 운동을 이해하는 데 중요한 통찰을 제공합니다.