수2 부정적분 문제 도와주세요!!!
더 복잡한 함수로 밑에 있는 문제들을 풀어주세요! 식 자세히 써주세요!!!
안녕하세요.
동일한 문제 질문이 중복된 것 같습니다. 설명을 조금 다른 버전으로 해드릴테니, 두 답변 중 이해가 더 잘 되는 답변으로 이해해주시면 좋을 것 같습니다.
문제 1 의 경우 ∫(4x+3) dx는 기본적인 적분 공식을 통해 해결이 가능합니다. 이는 다항식의 각 항을 개별적으로 적분하는 것을 말합니다. 이 과정에서, 4x의 적분은 4/2 x² 즉, 2x²이 되며, 상수항 3의 적분은 3x가 됩니다. 따라서, 이 적분의 결과는 2x² + 3x + C 형태로 표현됩니다. 여기서 C는 적분 상수(integration constant)로, 부정적분(indefinite integral)의 일반적인 결과에 포함되어 있습니다.
문제 2 의 경우 ∫(4x+1)/(x²+1) dx의 해결을 위해서는 치환 적분(substitution)과 분할 적분을 사용합니다. 먼저, 분모 x²+1 의 도함수(derivative)는 2x이므로, 이를 활용하여 분자의 한 부분을 치환합니다. 치환 u = x²+1을 정의하면, du = 2xdx가 되어, xdx는 1/2du로 치환할 수 있습니다. 그 결과, 분자의 4x는 ∫(2 du/u)로 적분되어, 2 ln|u| + C₁ 즉, 2 ln|x²+1| + C₁가 됩니다. 추가적으로, 상수 1의 적분은 아크르탄(arctan) 함수를 사용하여 arctan(x) + C₂로 계산됩니다. 따라서, 전체 적분 결과는 2 ln|x²+1| + arctan(x) + C로 표현됩니다.