컴퓨터가 리만합 등으로 정적분 계산할 때 분할수는 어떻게 정하나요?

Question

컴퓨터가 정적분을 계산할 때에는 리만합, 사다리꼴 공식 같은 수치 적분 방법을 사용해 정적분을 계산한다고 들었습니다. 그런데 이런 방법들은 분할수가 증가할수록 정확도가 증가하는데, 분할을 무한번 할수는 없기 때문에, 적절한 분할수를 어떻게 결정하는지 궁금합니다.

Answer 1

안녕하세요. 감병주 전문가입니다.

컴퓨터는 보통 분할 수를 미리 정하지 않고 오차를 기준으로 자동 조정합니다.
먼저 적은 수의 구간으로 적분값을 계산한 뒤, 분할 수를 늘려 다시 계산하고 두 결과의 차이가 충분히 작으면 원하는 정확도에 도달한 것으로 판단합니다. 만약 차이가 크면 구간을 더 세분화하여 계산을 반복합니다. 또 변화가 큰 구간은 촘촘하게 변화가 작은 구간은 넓게 나누는 적응형 적분 기법도 사용됩니다.
그렇게 현대 컴퓨터는 원하는 오차 범위를 만족할 때까지 분할 수를 자동으로 조절하며 정적분을 계산합니다.

Answer 2

안녕하세요. 서종현 전문가입니다.

컴퓨터가 정적분을 수치적으로 계산할때 분할 수를 결정하는 방법은 다음과 같습니다.

우선, 분할 수가 많아지면 겨로가의 정확도는 높아지지만 계산량도 급격히 증가합니다. 그래서 컴퓨터는 일정한 분할 간격으로 나누되, 오차가 허용 범위 내에 들어올때까지 반복해서 분할수를 조절하는 방식으로 동작합니다. 이를 적응적 분할또는 오차제어라 부르는데, 먼저 적당한 분할수로계산한후, 결과의 정확도를 추정하고 필요시 분할수를 더 늘려서 오차를 줄이는 식입니다. 또한 함수의 변화가 심한 구간은 더 촘촘히 나누고,완만한 구간은 굵게 나누는 가변 분할이 사용되기도 합니다. 이렇게 하면 연산 효율을 높이면서 정확도도 확보할수있습니다. 즉, 분할 수는 단순히 고정된 값이 아니라 함수 특성과 원하는 오차 한계에 따라 컴퓨터가 알아서 조절합니다.