학문
호지추측과 콜리츠 추측에 대해 알고싶습니다
제가 미스터리를 좋아해서 요즘에 밀레니엄 7대난제대해 궁금해졌는데요..
얼마나 어려운지 궁금하고 뭐때문에 아직까지 증명하지 못하는지 증명하게되면 인류에게 어떤도움이 있을지 궁금해요
1개의 답변이 있어요!
안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
두 추측 다 흥미로운데 난이도와 성격이 정반대예요. 하나는 초등학생도 문제를 이해할 수 있는데 아무도 못 풀었고, 다른 하나는 문제를 이해하는 것 자체가 대학원 수준이거든요. 콜라츠부터 풀어볼게요.
콜라츠 추측은 규칙이 황당할 만큼 단순해요. 아무 자연수나 하나 고른 다음, 짝수면 2로 나누고 홀수면 3을 곱한 뒤 1을 더해요. 나온 결과에 같은 규칙을 계속 반복하는 거예요. 예를 들어 6으로 시작하면 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1로 가고, 7로 시작해도 한참 오르락내리락하다가 결국 1에 도착해요. 콜라츠 추측은 어떤 수로 시작하든 결국 반드시 1에 도달한다는 주장이에요.
이게 왜 어렵냐면, 컴퓨터로 어마어마하게 큰 수까지 다 확인해봤는데 전부 1로 끝났거든요. 그런데도 모든 자연수에 대해 그렇다는 걸 증명한 사람이 아무도 없어요. 홀수일 때는 수가 커지고 짝수일 때는 작아지는데, 이 오르내림이 워낙 불규칙해서 언제 1에 닿을지 예측할 방법이 없는 거예요. 수학자 에르되시는 이 문제를 두고 현대 수학은 아직 이런 문제를 풀 준비가 안 됐다고 말하기도 했어요. 문제는 초등학생도 이해하는데 푸는 도구가 없다는 점에서 리만 가설과 비슷한 처지예요.
호지 추측은 정반대로 문제 자체가 굉장히 추상적이에요. 콜라츠처럼 쉽게 풀어 설명하기가 어려운데, 핵심 아이디어만 비유로 짚어볼게요. 수학에는 복잡한 도형이나 공간을 연구하는 분야가 있어요. 그런데 곡선이나 곡면처럼 휘어진 복잡한 대상을 직접 다루기는 너무 어려우니까, 수학자들은 이걸 더 단순한 조각들로 쪼개서 분석해요. 레고 블록으로 복잡한 모양을 표현하듯이, 복잡한 기하학적 공간을 다루기 쉬운 기본 조각들의 조합으로 나타내는 거예요.
호지 추측은 이런 질문이에요. 어떤 복잡한 공간을 분석할 때 대수적인 방법으로 찾아낸 특징들이 있는데, 이것들이 항상 실제 기하학적인 조각, 그러니까 눈에 보이는 도형 조각으로 표현될 수 있느냐는 거예요. 대수라는 계산의 언어로 발견한 성질과 기하라는 도형의 세계가 정확히 맞아떨어지느냐를 묻는 거죠. 계산으로는 존재한다고 나오는데 그게 실제 도형으로 그려지는지가 확인이 안 된 거예요.
이게 중요한 이유는 대수와 기하라는 수학의 두 큰 기둥을 잇는 다리이기 때문이에요. 호지 추측이 참이라면 계산의 세계와 도형의 세계가 깊은 곳에서 하나로 연결된다는 게 증명되는 거예요. 그래서 밀레니엄 7대 난제에 당당히 이름을 올린 거랍니다. 다만 콜라츠와 달리 호지 추측은 문제를 정확히 이해하려면 대수기하학이라는 상당히 깊은 분야를 공부해야 해서, 일반인에게는 문제의 뜻조차 와닿기 어려운 게 특징이에요.
두 추측을 나란히 놓으면 수학의 두 얼굴이 보여요. 콜라츠는 누구나 이해하지만 아무도 못 푸는 단순함의 함정이고, 호지는 이해하는 것부터가 벽인 추상의 깊이예요. 쉬워 보인다고 쉬운 게 아니고 어려워 보인다고 무의미한 게 아니라는 걸 보여주는 한 쌍이랍니다 :)