유클리드의 증명법은 소수가 유한하다 가정 후 발생한 모순을 가지고 유한하지 않다 즉 무한하다 라는 방향으로 주장하는 귀류법을 사용했는데요
소수가 유한개만 존재한다고 할때, 예를 들어 n개만 존재한다 했을때 소수는 소수1, 소수2, 소수3 …. 소수n 으로 존재할텐데 이 것들이 모두 소수의 전부라고 할 때, 소수는 유한하니까 정해진 숫자로 셀 수 있고, 그래서 전부 곱해서 새로운 값으로 만들 수 있죠.
소수1 x 소수2 x 소수3 x … x 소수n 했던 값에 1을 더하면 새로운 숫자 N 이 발생하게 되는데 이때 숫자 N 이 소수라면 기존 소수를 모두 곱하고 1을 더했더니 또 소수가 발견된거니 유한하다는 주장이 모순되게 됩니다
또 소수N 이 합성수라면, 기존 곱한 값 소수들 중 하나로 나누어 떨어져야 하는데, 이때 소수N 은 소수들의 곱에 1을 더한 값이라 나눈다고 해도 항상 더한 1이 남을 수 밖에 없죠
즉 소수가 유한하다 할 때 적용되는 원리들에 의해 소수가 유한할 수 없는 상황이 발견되어서 유한하지 않다 라는 결론에 도달했고, 이는 소수가 무한하다 할 수 있게 된것입니다