부정방정식 유형별 접근밥에 대해 알려줘

Question

정수조건의 부정방정식 풀이

실수 조건의 부정방정식 플이

이외의 조건이 주어진 경위의 접근법에 대해 설명해줘

고1 과정으로 설명해줘.

Answer 1

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.

부정방정식은 미지수는 여러 개인데 식의 개수가 부족해서 답이 하나로 안 정해지는 방정식이에요. 그래서 그냥 풀면 답이 무수히 많아지는데, 문제에서 정수다 실수다 하는 조건을 붙여줘서 답을 콕 집어낼 수 있게 만드는 거예요. 어떤 조건이 붙느냐에 따라 접근법이 완전히 달라지니까 유형별로 짚어드릴게요.

먼저 정수 조건일 때예요. 미지수가 정수라는 조건이 붙으면 핵심 전략은 식을 곱셈 꼴로 만드는 거예요. 좌변을 두 괄호의 곱으로 인수분해하고 우변을 정수로 정리해서, A 곱하기 B가 어떤 정수가 되도록 바꾸는 거죠. 예를 들어 xy 빼기 x 빼기 y 같은 식이 나오면 (x 빼기 1)(y 빼기 1) 꼴로 묶어내는 식이에요. 이렇게 두 정수의 곱이 특정 숫자가 되면, 그 숫자를 만드는 정수 짝은 몇 가지로 한정되거든요. 곱해서 6이 되는 정수 짝은 1과 6, 2와 3, 그리고 음수 조합까지 몇 개뿐이잖아요. 이 경우들을 하나씩 따져서 미지수를 구하는 거예요. 정수 조건의 부정방정식은 거의 다 이 인수분해 후 약수 따지기로 풀린다고 보시면 돼요.

다음은 실수 조건일 때예요. 미지수가 실수라는 조건이 붙으면 무기가 두 가지예요. 하나는 완전제곱식을 이용하는 거예요. 실수를 제곱하면 절대 음수가 안 된다는 성질이 핵심이거든요. 식을 정리해서 (어떤 식)의 제곱 더하기 (다른 식)의 제곱 형태가 0이 되도록 만들면, 0 이상인 두 값을 더해서 0이 되는 경우는 둘 다 동시에 0일 때뿐이에요. 그래서 각 괄호 안을 0으로 놓고 풀면 답이 나와요. 예를 들어 a제곱 더하기 b제곱이 0이면 a도 0이고 b도 0인 거죠. 다른 하나는 판별식을 이용하는 거예요. 한 미지수에 대한 이차방정식으로 정리한 뒤, 그 미지수가 실수로 존재하려면 판별식이 0 이상이어야 한다는 조건을 거는 방식이에요. 이 두 가지 중 식의 모양을 보고 제곱 합으로 묶이면 완전제곱식, 이차식으로 정리되면 판별식을 떠올리시면 돼요.

이외의 조건이 붙는 경우도 있어요. 자연수 조건이 붙으면 정수 풀이와 비슷하게 가되 음수와 0을 빼고 양의 정수만 따지면 돼요. 양수 조건이면 범위를 제한하는 식으로 접근하고요. 또 절댓값이 들어간 부정방정식은 절댓값 안이 0 이상인 성질을 활용해 완전제곱식 전략과 비슷하게 풀어요. 핵심은 어떤 조건이든 그 조건이 가진 고유한 성질, 그러니까 정수는 약수가 유한하다, 실수의 제곱은 음수가 안 된다 같은 성질을 무기로 삼아 무수히 많던 답을 유한하게 좁혀낸다는 거예요.

정리하면 이렇게 기억하시면 편해요. 정수 조건이면 인수분해해서 약수를 따지고, 실수 조건이면 완전제곱식으로 묶거나 판별식을 쓰고, 그 외 조건이면 그 조건만의 성질로 범위를 좁힌다는 거예요. 결국 부정방정식은 주어진 조건이 곧 풀이의 열쇠라, 어떤 조건이 붙었는지를 가장 먼저 확인하는 게 첫걸음이랍니다 :)