렘수면 주기에 대한 방정식 알려주세요!
고등학교 수학 수행평가로 실생활 적용 문제를 만드려고 합니다. 렘수면 주기 방정식을 2~4차 방정식으로 알려주세요! ( 꼭 렘수면 아니어도 과학적인 분야에 대한 방정식 문제도 괜찮아요!!)
렘수면 주기에 대한 방정식을 직접 찾기는 어려웠지만, 수면 주기와 관련된 다른 방정식을 소개해드리겠습니다. 보르켈트-판 더 폴 모델(Borbély-Van der Pol model)은 수면-각성 주기를 설명하는 2차 미분방정식입니다. 이 방정식은 dx/dt = y, dy/dt = a(x - x³/3 - y + I)로 표현되며, 여기서 x는 수면 압력을 나타내는 변수, y는 x의 변화율, a는 상수, I는 일주기 리듬을 나타내는 항입니다. 이 방정식은 수면-각성 주기의 특징인 안정한 진동 패턴을 잘 묘사합니다. 이 방정식을 응용하여 수면 장애나 일주기 리듬 연구 등에 활용할 수 있습니다.
렘수면 주기와 생물학적 리듬을 모델링하는 방정식은 2~4차 방정식으로 표현되기는 어려움이 있습니다. 고등 수학 프로젝트를 하신다고하니 최대한 기본적인 모델링을 도와드릴 순 있습니다. 그러나 이 모델이 실제 생물학적 데이터와 정확히 수반되는 것은 아님을 미리 말씀드립니다.
렘수면은 다른 질문자에게 답변 드렸듯이 대략적으로 90분 주기로 반복됩니다. 이를 기반으로 간단한 사인 함수를 사용해서 렘수면의 주기를 표현할수 있습니다.
𝑓(t)=A⋅sin(B𝑡+C)+D
t는 시간(분)입니다.
A는 진폭으로, 렘수면의 깊이 또는 활동성의 강도를 나타낼 수 있습니다.
B는 주기를 조절하는 값으로, 𝐵=2𝜋90B=902π를 사용하여 90분 주기를 나타냅니다.
C는 위상 이동으로, 수면 시작 시간에 따라 조절할 수 있습니다.
D는 수면의 기본 수준을 나타내며, 이는 기준선 수면 깊이를 설정하는 데 사용될 수 있습니다.
예를 들어, 렘수면의 강도를 1로 설정하고, 수면이 시작된 지 45분 후에 최초의 렘수면이 시작되며, 기본 수면 수준이 0이라고 가정하면, 방정식은 다음과 같이 설정할 수 있습니다:
𝑓(𝑡)=sin(2𝜋90𝑡−𝜋2)f(t)=sin(902πt−2π)
이 식은 시간 𝑡t가 45분일 때 첫 렘수면의 피크(최대 활동성)를 나타내며, 이후 90분마다 반복됩니다.
수면 자체는 주기를 가지고 있고 크게 두개의 부분으로 나뉘어 지는데, 하나는 수면 중 눈동자가 좌우로 움직여지는 현상이 나타나는 렘(Rapid Eye Movement: REM)수면으로 꿈꾸는 수면이라고도 하며, 나머지를 비렘(Non-REM) 수면이라고 합니다. 하지만 이 현상을 방정식으로 표현하기에는 어려움이 있습니다. 대신 방정식이 적용될 수 있는 실생활 사례에 대해 다음과 같이 제시해드리겠습니다. 현수교는 현수선을 이루는 줄을 다리의 보에 매달아 교량의 하중을 다른 고정체에 연결하여 지지하는 형태의 다리인데요, 이 현수선이 이차함수의 실생활 활용 예시입니다. 또한 분수의 설계 역시 이차함수가 활용된 예시인데요, 이차함수 그래프를 통해 포물선을 계산하여 분수의 범위를 정해 물이 일정 공간 밖으로 나가지 못하게 하는 것입니다.