고2 수학2 발산과 불연속 질문드립니다.

Question

안녕하세요. ...

수학2 관련 해서 계속 헷갈려서 질문드립니다ㅜㅠㅠ

만약 발산함수라면 항상 불연속 인가요?.......

Answer 1

발산하는 함수는 그 점에서 극한값이 없으므로 항상 불연속이에요. 즉, 함수가 무한대로 치솟거나 극한값 자체가 정의되지 않으면 그 점에서 연속일 수 없오요~

Answer 2

발산하는 함수는 당연히 불연속이에요 발산한다는 건 극한값이 존재하지 않는다는 뜻이잖아요 연속이려면 극한값이 존재해야 하고 그 극한값이 함수값과 같아야 하는데 발산하면 극한값 자체가 없으니까 연속일 수가 없죠 그런데 반대로 불연속이라고 해서 다 발산하는 건 아니에요 점프불연속이나 제거가능한불연속처럼 극한값은 존재하지만 함수값과 다르거나 함수값이 정의되지않은 경우도 있거든요.

Answer 3

발산함수라고 해서 항상 불연속인 건 아니에요.

발산이라는 건 함수값이 무한대로 커지거나 작아지는 걸 말하는데, 그게 특정 점에서 일어나는 경우엔 불연속일 수 있어요.

하지만 전체적으로 보면 발산하면서도 연속인 함수도 있어요. 예를 들어 f(x)=x는 무한히 커지지만 연속이에요.

반대로 f(x)=1/x ​는 x=0 에서 발산하면서 불연속이죠.

결국 발산과 불연속은 관련은 있지만, 항상 같이 따라다니는 개념은 아니라는 점이 중요해요.