도급직으로 일하는 중, 갑자기 퇴사통보를 하였는데 문제가 되나요?

저는 1년동안 도급직으로 한 회사에서 일했습니다. 아웃소싱같은 종류라고 생각하시면 되겠습니다. A라는 도급업체에서 B라는 회사에 파견되어 근무하는 형태이죠, 사무직이었고.. 회사 상황이 안좋은 상태였습니다. 제가 이직할 곳을 알아보다가 바로 기회가 생겨서 월요일에 B회사에 퇴사의사를 밝히고, 금요일에 새로 갈 회사에서 면접을 봤는데 바로 다음주에 출근하라는 지시가 왔습니다. 하지만 제가 근무하는 B라는 회사에서는 갑자기 그만두는건 문제가 있다고 저한테 그렇게는 안돼겠다고 뭐라고 안좋은소리를 해서, 제가 속한A회사에 지금 이의를 제기한 상태입니다.

결론은 물론 제가 갑자기 퇴사통보와 이직을 하게되었지만, 정규직도 아니고 도급업체이기.때문에 사직서를 따로 제출하지 않아도 퇴사처리가 되는걸로 알고있는데 제가 갑자기 이직하는것에.대한 책임을 져야하는건지.. 파견업체인 B라는 회사가 저에게 강요를 해도 되는 상황인지 궁금합니다. 아니 이제와서 ..이미 타업체로 취업 확정이 됬는데, 제가 할 수있는게 없으니 답답하네요... A도급회사는 잘 해결해 줄것 같은데 제가 속해있는 A회사에서 저를 임의로 퇴직처리를 해줄 수 있는건지, 제가 다음주에 정리할게 있어서 먼저 회사에.가야하는데 눈치가.보이고 뭐라 할까봐 걱정되서 그렇습니다. 좋은 기회로 좋게좋게 끝내고 싶습니다.

전문가분들의 좋은 답변 기다리겠습니다.