생활
이 문제 좀 알려주세요 잘 모르겠네요오
두 이차함수 f(x)= x^2-2ax+2a^2-5, g(x)= -x^2+2ax-a+1 에 대하여 0<=x<=3에서 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 때, 실수 a의 값의 범위는 a<알파, a>베타 이다 알파x베타를 구하시오
여기서 a 값의 범위를 나누어서 푸는 방법은 알겠는데 각 범위 별로 최속값을 어떻게 구해야 하는지 모르겠어요
1개의 답변이 있어요!
주어진 두 이차함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \)에 대해 \( f(x) > g(x) \)가 항상 성립하기 위해서는 먼저 두 함수의 교차점을 찾아야 하고요. 그리고 이 교차점 이전과 이후의 각 함수의 위치 관계를 고려하여 부등식을 만족하는 \( a \)의 범위를 결정할 수 있겠습니다.
먼저 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 교차점을 찾습니다. 이를 위해 두 함수를 동일하게 설정하여 \( f(x) = g(x) \)를 풀어 교차점을 찾습니다.
\[ x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = -x^2 + 2ax - a + 1 \]
양변에 \( x \)를 제외하고 정리하면,
\[ 2x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 + x - 1 = 0 \]
\[ 2x^2 - (2a - 1)x + 2a^2 - 6 = 0 \]
여기서 교차점의 \( x \) 값은 다음과 같이 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 구할 수 있습니다.
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
따라서,
\[ x = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{(2a - 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2a^2 - 6)}}{4} \]
이제 이 교차점의 \( x \) 값을 이용하여 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 위치 관계를 확인하고, 이를 통해 \( a \)의 범위를 구할 수 있습니다. 최종적으로 \( a \) 값의 범위를 나누고, 각 범위에서의 최솟값을 찾아 \( \alpha \)와 \( \beta \)를 구할 수 있겠습니다.
먼저 두 함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 교차점을 구합니다.
다음 두 함수가 교차하는 지점에서 \( f(x) = g(x) \)가 되어야 합니다.
\[ x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = -x^2 + 2ax - a + 1 \]
양변에 \( x \)를 제외하고 정리하면,
\[ 2x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 + x - 1 = 0 \]
\[ 2x^2 - (2a - 1)x + 2a^2 - 6 = 0 \]
이제 교차점의 \( x \) 값은 다음과 같이 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 구할 수 있겠습니다.
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
따라서,
\[ x = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{(2a - 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2a^2 - 6)}}{4} \]
이제 교차점의 \( x \) 값을 이용하여 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 위치 관계를 확인합니다.
그리고 \( 0 \leq x \leq 3 \)에서 \( f(x) > g(x) \)가 항상 성립하도록 \( a \)의 범위를 구합니다.
마지막으로, 각 범위에서의 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 최소값을 찾아 \( \alpha \)와 \( \beta \)를 구할 수 있겠습니다.