나머지정리와 인수정리 이해하도록 도와주세요!

Question

모르겠어요ㅜㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

Answer 1

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.

나머지정리와 인수정리는 사실 하나의 아이디어에서 나온 형제 같은 거예요. 둘을 따로 외우려 하면 헷갈리는데, 연결해서 보면 한 번에 잡혀요.

먼저 나머지정리부터 볼게요. 어떤 다항식을 일차식으로 나눴을 때 나머지가 뭔지를 나눗셈 안 하고 바로 알아내는 방법이에요. 핵심은 이거예요. 다항식 f(x)를 x 빼기 a로 나눈 나머지는 f(a)와 같아요. 그러니까 나누는 식을 0으로 만드는 x값을 원래 다항식에 그냥 대입하면 그게 곧 나머지인 거예요.

왜 이렇게 되는지 보면 의외로 단순해요. 나눗셈을 식으로 쓰면 f(x)는 x 빼기 a 곱하기 몫 더하기 나머지로 표현돼요. 여기서 x 자리에 a를 넣으면 앞부분의 x 빼기 a가 a 빼기 a라서 0이 되거든요. 그러면 앞 항이 통째로 사라지고 나머지만 딱 남아요. 그래서 f(a)가 곧 나머지가 되는 거예요. 예를 들어 어떤 식을 x 빼기 2로 나눈 나머지가 궁금하면 그냥 원래 식에 2를 넣어서 나온 값이 나머지예요. 복잡한 나눗셈을 안 해도 되니까 엄청 편하죠.

이제 인수정리는 여기서 한 발짝만 더 가면 돼요. 나머지정리에서 만약 나머지가 0이 나오면 어떻게 될까요? 나머지가 0이라는 건 딱 나누어떨어진다는 뜻이잖아요. 그러니까 f(a)가 0이면 그 다항식은 x 빼기 a로 나누어떨어지고, 바꿔 말하면 x 빼기 a가 그 식의 인수라는 거예요. 이게 인수정리예요. f(a)가 0이면 x 빼기 a가 인수다, 이 한 줄이 전부예요.

둘의 관계를 정리하면 이래요. 나머지정리는 나머지가 얼마인지를 알려주는 거고, 인수정리는 그 나머지가 0인 특수한 경우를 다루는 거예요. 나머지가 0일 때만 인수가 되니까, 인수정리는 나머지정리의 특별한 한 경우인 셈이에요. 형제라고 한 게 이 때문이에요.

인수정리가 진짜 위력을 발휘하는 건 고차식을 인수분해할 때예요. 삼차식 같은 건 공식으로 한 번에 인수분해하기 어려운데, 인수정리를 쓰면 식에 1, 마이너스 1, 2 같은 간단한 숫자를 하나씩 넣어봐요. 그러다 결과가 0이 나오는 값을 찾으면, 예를 들어 f(1)이 0이면 x 빼기 1이 인수라는 걸 바로 알 수 있거든요. 그렇게 인수 하나를 찾아내면 나눗셈으로 나머지를 쪼개서 인수분해를 완성하는 거예요.

정리하면 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입한다는 하나의 동작에서 출발해서, 그 결과값이 나머지면 나머지정리, 그 값이 0이라 인수가 되면 인수정리예요. 이 연결고리만 잡으면 두 개가 따로 노는 게 아니라 한 덩어리로 보일 거랍니다 :)