이거 문제에서 풀이만 달라졌는데 답이 다르게 나오는 이유가 무엇인가요?

Question

이 문제를 풀었는데 처음에 사진에서 두번째 방법으로 풀었다가 보기에 답이 없어서 고칠 때는 첫번째 방법으로 풀었거든요 근데 둘다 a, m을 구했는데 서로 답이 다르게 나오는 이유는 무엇인가요? 답지에서는 첫번째 방법으로 풀라고 나와있어요

사탕수수 · Accepted Answer

공식이 중요하긴 한데 접근 방식은 다를 수 있기 때문에 상관없긴 합니다.

일단 계산해보면..

점 P의 좌표 설정:

점 P는 직선 y=x 위에 있으므로, P의 좌표를 $(x, x)$로 둘 수 있습니다.

AP^2 + BP^2 식 세우기:

두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 AP^2와 BP^2를 구합니다.

AP^2 = (x-1)^2 + (x-a)^2

BP^2 = (x-a)^2 + (x-(-3))^2 = (x-a)^2 + (x+3)^2

두 식을 더하면:

AP^2 + BP^2 = (x-1)^2 + 2(x-a)^2 + (x+3)^2

= (x^2 - 2x + 1) + 2(x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 + 6x + 9)

= (x^2 - 2x + 1) + (2x^2 - 4ax + 2a^2) + (x^2 + 6x + 9)

= 4x^2 + (4 - 4a)x + (2a^2 + 10)

최솟값 조건 활용하여 a 구하기:

이차식 $f(x) = 4x^2 + (4 - 4a)x + (2a^2 + 10)$는 아래로 볼록한 포물선 형태이므로, 꼭짓점의 x좌표에서 최솟값을 가집니다. 꼭짓점의 x좌표는 x = -\frac{B}{2A} 공식을 이용하여 찾을 수 있습니다.

x = -\frac{4-4a}{2 \cdot 4} = -\frac{4(1-a)}{8} = -\frac{1-a}{2} = \frac{a-1}{2}

문제에서 이 x좌표가 $\frac{3}{2}$라고 주어졌으므로,

\frac{a-1}{2} = \frac{3}{2}

a-1 = 3

a = 4

최솟값 m 구하기:

a=4를 원래의 식에 대입하여 m을 구합니다.

m = 4x^2 + (4-4 \cdot 4)x + (2 \cdot 4^2 + 10)

m = 4x^2 - 12x + (32 + 10)

m = 4x^2 - 12x + 42

이 식의 최솟값은 $x=\frac{3}{2}$일 때이므로,

m = 4(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) + 42

m = 4(\frac{9}{4}) - 18 + 42

m = 9 - 18 + 42 = 33

a+m 값 계산:

구한 a와 m 값을 더합니다.

a+m = 4 + 33 = 37

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