공식이 중요하긴 한데 접근 방식은 다를 수 있기 때문에 상관없긴 합니다.
일단 계산해보면..
점 P의 좌표 설정:
점 P는 직선 y=x 위에 있으므로, P의 좌표를 $(x, x)$로 둘 수 있습니다.
AP^2 + BP^2 식 세우기:
두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 AP^2와 BP^2를 구합니다.
AP^2 = (x-1)^2 + (x-a)^2
BP^2 = (x-a)^2 + (x-(-3))^2 = (x-a)^2 + (x+3)^2
두 식을 더하면:
AP^2 + BP^2 = (x-1)^2 + 2(x-a)^2 + (x+3)^2
= (x^2 - 2x + 1) + 2(x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 + 6x + 9)
= (x^2 - 2x + 1) + (2x^2 - 4ax + 2a^2) + (x^2 + 6x + 9)
= 4x^2 + (4 - 4a)x + (2a^2 + 10)
최솟값 조건 활용하여 a 구하기:
이차식 $f(x) = 4x^2 + (4 - 4a)x + (2a^2 + 10)$는 아래로 볼록한 포물선 형태이므로, 꼭짓점의 x좌표에서 최솟값을 가집니다. 꼭짓점의 x좌표는 x = -\frac{B}{2A} 공식을 이용하여 찾을 수 있습니다.
x = -\frac{4-4a}{2 \cdot 4} = -\frac{4(1-a)}{8} = -\frac{1-a}{2} = \frac{a-1}{2}
문제에서 이 x좌표가 $\frac{3}{2}$라고 주어졌으므로,
\frac{a-1}{2} = \frac{3}{2}
a-1 = 3
a = 4
최솟값 m 구하기:
a=4를 원래의 식에 대입하여 m을 구합니다.
m = 4x^2 + (4-4 \cdot 4)x + (2 \cdot 4^2 + 10)
m = 4x^2 - 12x + (32 + 10)
m = 4x^2 - 12x + 42
이 식의 최솟값은 $x=\frac{3}{2}$일 때이므로,
m = 4(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) + 42
m = 4(\frac{9}{4}) - 18 + 42
m = 9 - 18 + 42 = 33
a+m 값 계산:
구한 a와 m 값을 더합니다.
a+m = 4 + 33 = 37